Question

Дан треугольник ABC, <C=60°,<B=90°,BB1 -высота,BB1=2см.Найти AB.

Answer 1

Решение:угол А = 180° -(60°+90°)= 30°
ВВ¹ -высота
∆ВВ¹А - прямоугольный
угол В¹= 90°
угол А =30°
угол В =180°-(90°+30°)=60°
т.к. угол А = 30°, сторона ВВ¹ = ½ АВ
АВ = 2см× 2 = 4 см.
Ответ: 4 см

Answer 2

Постановка задачи

У нас есть треугольник ABC, где угол C равен 60°, угол B равен 90°, и BB1 является высотой треугольника, причем ее длина равна 2 см. Нам нужно найти длину стороны AB.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами треугольников.

1. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90°. Это означает, что сторона AB является гипотенузой треугольника.

2. В данном случае, BB1 является высотой треугольника, проведенной из вершины B на гипотенузу AC.

3. Зная длину высоты BB1, мы можем использовать свойства треугольников для нахождения длины стороны AB.

4. Обозначим длину стороны AB как x. Затем, обозначим длины сторон AC и BC как a и b соответственно.

5. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и катетами AC и BC, справедливо следующее уравнение:

AB^2 = AC^2 + BC^2

6. Так как угол C равен 60°, то у нас есть следующее соотношение между сторонами треугольника:

AC = BC = b

7. Также, поскольку BB1 является высотой треугольника, она разделяет гипотенузу AB на две отрезка AB1 и AB2. Заметим, что AB1 и AB2 являются катетами прямоугольных треугольников BBB1 и BAB1 соответственно.

8. Теперь мы можем записать следующую систему уравнений для треугольника BBB1:

BB1^2 = AB1^2 + BB2^2 BB1^2 = AB2^2 + BB2^2

Здесь AB1 и AB2 - это отрезки гипотенузы AB, разделенные высотой BB1.

9. Поскольку высота BB1 равна 2 см, у нас есть:

BB1 = 2

10. Решим систему уравнений для треугольника BBB1:

2^2 = AB1^2 + BB2^2 2^2 = AB2^2 + BB2^2

11. Из уравнений (10), мы получаем:

AB1^2 - AB2^2 = 0

12. Разрешим это уравнение относительно AB1:

AB1 = AB2

13. Таким образом, отрезки AB1 и AB2 равны между собой и равны половине гипотенузы AB:

AB1 = AB2 = AB/2

14. Подставим это значение в уравнение (9):

2^2 = (AB/2)^2 + BB2^2

15. Упростим это уравнение:

4 = AB^2/4 + BB2^2

16. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

16 = AB^2 + 16BB2^2

17. Заметим, что BB2 является катетом прямоугольного треугольника BBB1, поскольку BB1 является высотой. Так как треугольник BBB1 прямоугольный, применим теорему Пифагора:

BB1^2 = BB2^2 + BB^2

18. Подставим значение BB1:

2^2 = BB2^2 + BB^2

19. Упростим это уравнение:

4 = BB2^2 + BB^2

20. Заменим значение BB2 в уравнении (17) на BB2 из уравнения (19):

16 = AB^2 + 16(BB^2 - BB2^2)

21. Раскроем скобки:

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16BB2^2

22. Упростим это уравнение:

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16(BB2^2 - BB^2)

23. Заметим, что BB2^2 - BB^2 является разностью квадратов и может быть упрощено как (BB2 + BB)(BB2 - BB). Подставим это в уравнение (22):

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16(BB2 + BB)(BB2 - BB)

24. Заметим, что BB2 + BB равно гипотенузе AB. Подставим это в уравнение (23):

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16AB(BB2 - BB)

25. Упростим это уравнение:

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16AB(BB2 - BB)

26. Для удобства, обозначим BB2 - BB как y. Подставим это в уравнение (25):

16 = AB^2 + 16BB^2 - 16ABy

27. Умножим все члены уравнения на (-1) для удобства в дальнейших вычислениях:

-16 = -AB^2 - 16BB^2 + 16ABy

28. Перепишем уравнение (27):

AB^2 + 16BB^2 - 16ABy = -16

29. Заметим, что у нас есть уравнение вида Ax^2 + Bx^2 + Cxy = D. Это квадратное уравнение относительно AB.

30. Решим это уравнение. Выражение Ax^2 + Bx^2 + Cxy можно записать в виде (A + B)x^2 + Cxy. В нашем случае, A = 1, B = 16 и C = -16.

31. Для решения квадратного уравнения, воспользуемся стандартной формулой дискриминанта:

D = B^2 - 4AC

В нашем случае, A = 1, B = 16 и C = -16. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = 16^2 - 4(1)(-16) = 256 + 64 = 320

32. Заметим, что дискриминант D равен 320. Так как D > 0, у нас есть два различных корня для уравнения.

Для нахождения корней, воспользуемся формулой:

x = (-B ± √D) / (2A)

Подставим значения A = 1, B = 16 и D = 320:

x = (-16 ± √320) / (2 * 1)

x = (-16 ± √320) / 2

x = (-16 ± √(16 * 20)) / 2

x = (-16 ± 4√5) / 2

x = -8 ± 2√5

33. Таким образом, мы получаем два возможных значения для стороны AB:

AB1 = -8 + 2√5 **AB2 = -8