Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 Доказать, что B1D⊥A1B

Answer 1

Три взаимно перпендикулярных и равных по модулю вектора
i = AD; j = AB; k = AA1;
Скалярное произведение любой пары этих векторов равно 0;
A1B = AB - AA1 = j - k;
B1D = AD - AB1 = AD - (AB + AA1) = i - (j + k);
Скалярное произведение A1B и B1D
(j - k)*(i - (j + k)) = (k - j)*(k + j) = lkl^2 - ljl^2 = 0;
чтд

Answer 2

Рискну дать еще вариант. Длиннее, но без векторов.
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не параллельны.
Значит диагонали А1В и В1D - скрещивающиеся прямые (дано).
Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Перенесем прямую  В1D параллельно так, чтобы она проходила через точку А1. Прямые А1В и А1D2 (равная и параллельная В1D) теперь пересекающиеся и угол между ними ( угол D2А1В) - это и есть угол между В1D и А1B. Докажем, что он прямой.
A1B - диагональ грани квадрата и равна √2 (возьмем единичный квадрат).
В1D=А1D2 - диагональ куба и равна √3.
ВD2 - гипотенуза прямоугольного треугольника СВD2 с прямым углом С и катетами 1 и 2 (так как D2D=CD по построению).  Значит ВD2=√(4+1)=√5.
Итак, мы имеем треугольник ВА1D2, в котором стороны равны √2, √3 и √5. Но если а²+b²=c², где a,b и с - стороны треугольника, то такой треугольник - прямоугольный. То есть <D2A1B=90°.
Что и требовалось доказать.