Question

К окружности с центром О проведена касательная BM (M-точка касания).Найдите площадь треугольника BOM,если угол BOM=60 Градусам, а радиус окружности равен 6.

Answer 1

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.
Треугольник ВОМ - прямоугольный с прямым углом М.
ОМ - гипотенуза. <BOM=60°, <MBO=30° (по сумме острых углов = 90°).
против угла 30 градусов лежит катет (радиус), равный 6. Значит гипотенуза равна 12. По Пифагору катет ВМ=√(12²-6²)=6√3. Площадь треугольника ВОМ равна (1/2)*6*6√3=18√3.
Ответ: Sbom=18√3 ед².

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства касательной к окружности.

Определение точки M

Мы знаем, что точка M является точкой касания касательной BM с окружностью. Поскольку BM является касательной, она перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точке M. Это означает, что угол OMB (где O - центр окружности, M - точка касания, B - точка на окружности) равен 90 градусов.

Определение треугольника BOM

Треугольник BOM образован сторонами BO, OM и BM. Мы знаем, что угол BOM равен 60 градусов, а радиус окружности равен 6.

Вычисление сторон треугольника BOM

Для вычисления сторон треугольника BOM мы можем использовать теорему косинусов. Теорема косинусов утверждает, что для треугольника со сторонами a, b и c и углом α против стороны a, можно использовать следующую формулу:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)

В нашем случае, сторона OB равна радиусу окружности и равна 6. Сторона OM - это радиус окружности, также равный 6. Угол BOM равен 60 градусам. Подставив эти значения в формулу теоремы косинусов, мы можем вычислить сторону BM:

BM^2 = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(60°)

Вычислив это, получим:

BM^2 = 36 + 36 - 72 * 0.5 BM^2 = 72 - 36 BM^2 = 36 BM = 6

Вычисление площади треугольника BOM

Теперь, имея значения сторон треугольника BOM, мы можем вычислить его площадь, используя формулу Герона. Формула Герона для вычисления площади треугольника со сторонами a, b и c выглядит следующим образом:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))

где p - полупериметр треугольника, вычисляемый как (a + b + c) / 2.

В нашем случае, сторона BO = 6, сторона OM = 6 и сторона BM = 6. Полупериметр треугольника BOM будет:

p = (6 + 6 + 6) / 2 = 9

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника BOM:

S = √(9(9 - 6)(9 - 6)(9 - 6)) S = √(9 * 3 * 3 * 3) S = √(243) S ≈ 15.59

Таким образом, площадь треугольника BOM составляет примерно 15.59 квадратных единиц.