Question

Верно ли, что 2r = a + b - c? (r - радиус вписанной окружности, a,b - катеты, c - гипотенуза) (с доказательством)

Answer 1

1) в общем виде радиус окружности, вписанный в произвольный треугольник: r=S/p=2S/P; (1); (р- полупериметр; P- периметр); 2) для прямоугольного треугольника: S=a*b/2 (половина произведения катетов); 2S=ab; 3) подставим в (1): r=ab/P (2); 4) сделаем замену, используя то, что в прямоугольном треугольнике a^2+b^2-c^2=0; 5) ab=a^2+b^2-c^2+ab=a^2+b^2-c^2+ab+ab-ab=a^2+2ab+b^2-c^2-ab; ab+ab=(a+b)^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c); ab=(a+b-c)(a+b+c)/2= (a+b-c)*P/2; 6) подставим в (2): r=(a+b-c)*P/2*P=(a+b-c)/2; 2r=a+b-c;

Answer 2

Верно ли, что 2r = a + b - c? (r - радиус вписанной окружности, a, b - катеты, c - гипотенуза) (с доказательством)

Для доказательства утверждения 2r = a + b - c, где r - радиус вписанной окружности, a и b - катеты, c - гипотенуза, воспользуемся геометрическими свойствами треугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где a и b - катеты, c - гипотенуза, и O - центр вписанной окружности.

2. По свойству вписанной окружности, радиус r является расстоянием от центра окружности O до любой стороны треугольника ABC.

3. Разделим треугольник ABC на три маленьких треугольника AOB, BOC и COA, где O - центр вписанной окружности.

4. По свойству вписанной окружности, каждый из этих треугольников является прямоугольным.

5. В треугольнике AOB, где AO и BO - радиусы вписанной окружности, применим теорему Пифагора: AO^2 + BO^2 = AB^2.

6. Аналогично, в треугольниках BOC и COA, применим теорему Пифагора: BO^2 + CO^2 = BC^2 и CO^2 + AO^2 = AC^2.

7. Сложим все три уравнения: AO^2 + BO^2 + BO^2 + CO^2 + CO^2 + AO^2 = AB^2 + BC^2 + AC^2.

8. Упростим уравнение: 2(AO^2 + BO^2 + CO^2) = AB^2 + BC^2 + AC^2.

9. Заметим, что AO = BO = CO = r, так как это радиус вписанной окружности.

10. Подставим AO = BO = CO = r в уравнение: 2(r^2 + r^2 + r^2) = AB^2 + BC^2 + AC^2.

11. Упростим уравнение: 6r^2 = AB^2 + BC^2 + AC^2.

12. Заметим, что AB = a, BC = b и AC = c, так как a и b - катеты, а c - гипотенуза.

13. Подставим AB = a, BC = b и AC = c в уравнение: 6r^2 = a^2 + b^2 + c^2.

14. Разделим обе части уравнения на 6: r^2 = (a^2 + b^2 + c^2) / 6.

15. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: r = sqrt((a^2 + b^2 + c^2) / 6).

16. Упростим выражение: r = sqrt(a^2 + b^2 + c^2) / sqrt(6).

17. Возведем обе части уравнения в квадрат: r^2 = (a^2 + b^2 + c^2) / 6.

18. Умножим обе части уравнения на 6: 6r^2 = a^2 + b^2 + c^2.

19. Заметим, что 2r = 2 * sqrt(a^2 + b^2 + c^2) / sqrt(6).

20. Упростим выражение: 2r = sqrt(2(a^2 + b^2 + c^2)) / sqrt(3).

21. Возведем обе части уравнения в квадрат: (2r)^2 = (sqrt(2(a^2 + b^2 + c^2)) / sqrt(3))^2.

22. Упростим выражение: 4r^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) / 3.

23. Умножим обе части уравнения на 3: 12r^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2).

24. Заметим, что 12r^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) эквивалентно 2r = a^2 + b^2 + c^2.

25. Таким образом, мы доказали, что 2r = a^2 + b^2 + c^2.

Вывод:

Исходное утверждение 2r = a + b - c неверно. Вместо этого, верное утверждение состоит в том, что 2r = a^2 + b^2 + c^2.