Question

около правильного треугольника описана окружность радиуса R. докажите что R=2r, где r радиус окружности вписанной в этот треугольник.

Answer 1

Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. докажите что R = 2r, где r - радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

=============================================================

В правильном треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают: АМ = BE = CD. Соответственно, совпадают и центры описанной и вписанной окружности. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перепендикуляров, то есть высоты данного треугольника ⇒ АО = ВО = СО = R . Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, то есть биссектрисы данного треугольника ⇒ OE = OM = OD = r.

Так как AM = BE = CD - медианы ΔАВС  ⇒

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Значит, СО:ОD = 2:1  ⇒ R:r = 2:1 ⇒ R = 2r, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что радиус описанной окружности \( R \) в около прямоугольного треугольника равен удвоенному радиусу вписанной окружности \( r \), давайте рассмотрим треугольник и воспользуемся геометрическими свойствами.

Свойства треугольника и окружности:

1. В около прямоугольного треугольника, описанной окружности центр которой совпадает с центром треугольника, радиус описанной окружности \( R \) равен половине гипотенузы треугольника. 2. Радиус вписанной окружности \( r \) в прямоугольный треугольник равен полусумме катетов, деленной на полупериметр треугольника.

Доказательство:

Пусть \( a \), \( b \), и \( c \) - длины сторон прямоугольного треугольника, где \( c \) - гипотенуза. Тогда по свойству 1, радиус описанной окружности \( R \) равен половине гипотенузы: \( R = \frac{c}{2} \).

Рассмотрим радиус вписанной окружности \( r \). По свойству 2, \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

Теперь докажем, что \( R = 2r \).

Подставим \( R \) и \( r \), получим: \( R = \frac{c}{2} \) и \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

Теперь умножим \( r \) на 2: \( 2r = a + b - c \).

Так как \( a^2 + b^2 = c^2 \) по теореме Пифагора, то \( a + b = c \).

Таким образом, \( 2r = c \).

Итак, мы доказали, что \( R = 2r \), что и требовалось доказать.