Question

1. Даны вершины треугольника АВС, А(1,-3,2); В(4,-5,-2); С(-1,2,-3). Найти косинус угла АВС.

Answer 1

Направляющий вектор BA (-3;2;4)
Направляющий вектор BC (-5;7;-1)
cos ∠ABC= ((-3)*(-5)+2*7+4*(-1)) / √(9+4+16) / √(25+49+1) = 25 / √29 /√75= 5*√87/87

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла АВС, нам понадобится знать координаты вершин треугольника АВС. В данном случае, координаты вершин заданы следующим образом:

А(1, -3, 2) B(4, -5, -2) C(-1, 2, -3)

Нахождение векторов сторон треугольника

Первым шагом мы должны найти векторы сторон треугольника. Для этого мы вычислим разности координат между соответствующими вершинами:

AB = B - A = (4, -5, -2) - (1, -3, 2) = (3, -2, -4) AC = C - A = (-1, 2, -3) - (1, -3, 2) = (-2, 5, -5)

Нахождение скалярного произведения векторов

Зная векторы сторон AB и AC, мы можем найти их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно, а θ - искомый угол.

Для вычисления скалярного произведения векторов AB и AC, мы умножим соответствующие координаты и сложим результаты:

AB · AC = (3 * -2) + (-2 * 5) + (-4 * -5) = -6 - 10 + 20 = 4

Нахождение длин векторов

Для вычисления длин векторов AB и AC, мы используем формулу:

|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

|AC| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты начальной и конечной точек соответствующих векторов.

Применяя эту формулу, мы получаем:

|AB| = sqrt((4 - 1)^2 + (-5 - (-3))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt(9 + 4 + 16) = sqrt(29)

|AC| = sqrt((-1 - 1)^2 + (2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2) = sqrt(4 + 25 + 25) = sqrt(54) = 3 * sqrt(6)

Вычисление косинуса угла

Теперь, имея значения скалярного произведения AB · AC и длин векторов |AB| и |AC|, мы можем вычислить косинус угла АВС:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

cos(θ) = 4 / (sqrt(29) * 3 * sqrt(6)) = 4 / (3 * sqrt(29 * 6)) = 4 / (3 * sqrt(174))

cos(θ) ≈ 0.117

Ответ: Косинус угла АВС ≈ 0.117