Question

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Answer 1

∠DCA=∠CBA
∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, тр-ки ADC и CBD подобны.
CD/BD=AC/BC=AD/CD, AC/BC=AM/MB=10/18 
AD=CD*10/18, BD=CD*18/10, 
AD+28=CD*18/10
CD*10/18+28=CD*18/10
28=CD*18/10-CD*10/18
28=(18*18*CD-10*10*CD)/180
28*180=CD(324-100)
CD=28*180/224=22,5
Ответ: 22,5 

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство биссектрисы треугольника и свойства касательной к описанной окружности.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные оставшимся двум сторонам треугольника.

В данной задаче, биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 10 и MB = 18. Также, нам известно, что точка C лежит на биссектрисе CM.

Свойство касательной к описанной окружности

Касательная к описанной окружности треугольника, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Здесь точка D является точкой касания касательной с окружностью.

Мы должны найти длину отрезка CD.

Решение задачи

1. Используя свойство биссектрисы треугольника, мы можем определить соотношение между отрезками AM, MB и AC, CB: AM/MB = AC/CB

Подставим известные значения: 10/18 = AC/CB

2. Также, поскольку точка D является точкой касания касательной с окружностью, мы можем использовать свойство касательной и получить следующее соотношение: AC^2 = AD * AB

Подставим известные значения: AC^2 = AD * (AM + MB) AC^2 = AD * (10 + 18) AC^2 = AD * 28

3. Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих двух соотношений. Из первого уравнения: 10/18 = AC/CB

Мы можем выразить CB через AC: CB = (18 * AC) / 10

Подставим это значение во второе уравнение: AC^2 = AD * 28 AC^2 = AD * (10 + 18) AC^2 = AD * (10 + (18 * AC) / 10)

Упростим это уравнение: AC^2 = AD * (10 + 1.8AC) AC^2 = AD * (18 + 1.8AC)

4. Теперь мы можем решить это уравнение относительно AC и AD. Разделим оба выражения на AC: AC = AD * (18 + 1.8AC) / AC

Упростим это выражение: 1 = AD * (18/AC + 1.8) AD = AC / (18/AC + 1.8)

Теперь мы можем найти значения AC и AD, подставив AM = 10 и MB = 18: AC = 10 * 18 / (10 + 18) AC = 180 / 28 AC ≈ 6.43

AD = 6.43 / (18/6.43 + 1.8) AD = 6.43 / (2.8 + 1.8) AD ≈ 1.27

5. Теперь мы можем найти длину отрезка CD, используя свойство биссектрисы: CD = AC * BD / AB

Подставим известные значения: CD = 6.43 * (18 - 1.27) / (10 + 18) CD ≈ 3.66

Ответ: Длина отрезка CD примерно равна 3.66.