Question

Доказать формулу Лейбница. Если G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а P - любая точка, то

Answer 1

GA + GB + GC = 0; (1)
если G - точка пересечения медиан. На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как
GA + GB = 2*GM = - GC;
где M - середина AB
Тогда
3*PG = PA + PB + PC; (2)
для любой точки P - это сразу видно, если подставить
PA = PG + GA; PB = PG + GA; PC = PG + GC;
Из (1) после возведения в квадрат
0 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2(GA*GB +GA*GB + GB*GC); (3)
а из (2)
9*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2(PA*PB + PA*PC + PB*PC) =
PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2((PG + GA)*(PG + GB) + (PG + GA)*(PG + GC) + (PG + GB)*(PG + GC)) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 6*PG^2 + 4*PG*(GA + GB + GC) + 2(GA*GB + GA*GC + GB*GC);
если учесть (1) и (3), получается
3*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 - (GA^2 + GB^2 + GC^2)
Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA*PB означает в этих случаях скалярное произведение.
ЧТД

Answer 2

Я могу помочь с доказательством формулы Лейбница для точки пересечения медиан треугольника. Давайте разберемся с этим.

Формула Лейбница для точки пересечения медиан треугольника

Формула Лейбница утверждает, что если G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а P - любая точка, то векторная сумма PA, PB и PC равна нулю. Формально, это может быть записано следующим образом:

PA + PB + PC = 0

Давайте докажем эту формулу.

Доказательство

1. Пусть точки A, B и C - вершины треугольника ABC, а точка G - точка пересечения медиан. 2. Обозначим векторы AG, BG и CG как a, b и c соответственно. 3. Так как точка G - точка пересечения медиан, то векторы a, b и c являются медианами треугольника ABC. 4. Заметим, что медианы треугольника делятся в отношении 2:1. Это означает, что векторные суммы медиан равны нулю. - a + b + c = 0 5. Теперь рассмотрим точку P произвольно. 6. Обозначим векторы AP, BP и CP как p, q и r соответственно. 7. Чтобы доказать формулу Лейбница, мы должны показать, что векторная сумма p, q и r также равна нулю. 8. Заметим, что векторы p, q и r можно выразить через векторы a, b и c следующим образом: - p = a + p1 - q = b + q1 - r = c + r1 где p1, q1 и r1 - векторы, соединяющие точки P и G. 9. Подставим эти выражения в формулу a + b + c = 0: - (a + p1) + (b + q1) + (c + r1) = 0 10. Раскроем скобки и перегруппируем выражение: - (a + b + c) + (p1 + q1 + r1) = 0 11. Используя факт, что a + b + c = 0, мы можем упростить это выражение: - 0 + (p1 + q1 + r1) = 0 12. Получаем: - p1 + q1 + r1 = 0 13. Таким образом, мы доказали, что векторная сумма p, q и r равна нулю, что соответствует формуле Лейбница: - PA + PB + PC = 0

Заключение

Мы успешно доказали формулу Лейбница для точки пересечения медиан треугольника. Эта формула позволяет нам выразить векторную сумму трех векторов, соединяющих точку P и точку пересечения медиан треугольника, как нулевой вектор.