Question

З точки М, що лежить поза колом, проведено дві дотичні MK і MN, KMN = 60°. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки М до центра кола дорівнює 8 см.

Answer 1

Лежат в центре вписанный угол равен половине дуги

Answer 2

Задача: У нас є коло з центром O і радіусом r. Лежить поза колом точка M, з якої проведені дві дотичні до кола MK і MN. Кут KMN дорівнює 60°. Відстань від точки М до центра кола дорівнює 8 см. Нам потрібно знайти радіус кола.

Розв'язок: Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться використати певні властивості дотичних та кутів, утворених дотичними до кола.

Кут між дотичною та променем

Один з основних фактів, який нам знадобиться, полягає в тому, що кут між дотичною та променем у точці дотику дорівнює 90°. Це означає, що кути KMO та KNO дорівнюють 90°.

Властивості кутів у трикутнику

Далі, нам знадобиться використати властивості кутів у трикутнику.

У трикутнику KMN сума всіх кутів дорівнює 180°. За умовою, KMN = 60°, тому сума кутів KMN і KMO дорівнює 180° - 60° = 120°.

Також, ми знаємо, що кути KMO і KNO дорівнюють 90°.

Знаходження радіуса кола

За допомогою цих властивостей ми можемо знайти радіус кола.

Ми знаємо, що відстань від точки M до центра кола дорівнює 8 см. Це відстань від точки M до точки O. Згідно до умови, ця відстань дорівнює радіусу кола, тобто r = 8 см.

Також, ми знаємо, що кути KMO і KNO дорівнюють 90°. Оскільки ці кути знаходяться у прямокутних трикутниках, ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження відстані MO і NO.

Застосовуючи теорему Піфагора до трикутників KMO і KNO, ми можемо записати наступні рівняння:

MO^2 = MK^2 - KO^2 NO^2 = NK^2 - KO^2

Так як KO дорівнює радіусу кола r, а MK і NK дорівнюють один одному (вони є дотичними до кола і тому мають однакову довжину), ми можемо записати:

MO^2 = MK^2 - r^2 NO^2 = NK^2 - r^2

Знаючи, що кут KMN дорівнює 60°, ми можемо визначити відношення між MO і NO за допомогою тригонометричних функцій. У трикутнику KMN, тангенс кута KMN дорівнює протилежному катету (MO) поділеному на прилеглий катет (NO). Таким чином, ми можемо записати:

tan(60°) = MO / NO

Ми знаємо, що tan(60°) = √3, тому ми можемо записати:

√3 = MO / NO

Далі, ми можемо використати це рівняння, щоб виразити MO через NO:

MO = √3 * NO

Тепер ми можемо підставити це значення MO у рівняння для MO^2:

(√3 * NO)^2 = MK^2 - r^2

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

3 * NO^2 = MK^2 - r^2

Аналогічно, ми можемо записати рівняння для NO^2:

NO^2 = NK^2 - r^2

Підставляючи значення NO^2 у перше рівняння, ми отримуємо:

3 * (NK^2 - r^2) = MK^2 - r^2

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

3 * NK^2 - 3 * r^2 = MK^2 - r^2

Так як MK^2 = NK^2 (MK і NK дорівнюють один одному), ми можемо записати:

3 * NK^2 - 3 * r^2 = NK^2 - r^2

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

2 * NK^2 = 2 * r^2

Скасовуючи 2 з обох боків рівняння, ми отримуємо:

NK^2 = r^2

Це означає, що довжина відрізка NK дорівнює радіусу кола.

У нашому випадку, ми знаємо, що відстань від точки M до центра кола дорівнює 8 см. Таким чином, MO = 8 см. Застосовуючи рівняння MO = √3 * NO, ми можемо записати:

8 = √3 * NO

Розв'язавши це рівняння для NO, ми отримуємо:

NO = 8 / √3

Також, ми знаємо, що MK = NK, оскільки вони є дотичними до кола.

Застосовуючи це значення NO і MK = NK, ми можемо записати:

2 * NK^2 = 2 * r^2

Замінюючи NO на 8 / √3, ми отримуємо:

2 * (8 / √3)^2 = 2 * r^2

Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:

2 * (64 / 3) = 2 * r^2

Замінюючи 2 з обох боків рівняння, ми отримуємо:

64 / 3 = r^2

Піднімаючи обидва боки рівняння до степеня 2, ми отримуємо:

r^2 = (64 / 3)^2

Обчислюючи це значення, ми отримуємо:

r^2 = 4096 / 9

Округлюючи до другого десятков