Question

В основании правильной четырехугольной пирамиды РАВСD лежит квадрат АВСD со стороной, равной 15 корней из 2. На ребре РВ, равном 25, взята точка М так, что РМ:МВ=2:3. Найдите угол между плоскостями АРС и АМС. Пожалуйста, подробное решение с рисунком!!

Answer 1

Искомый угол - <MOP, так как плоскость PBD перпендикулярна обеим пересекающимся плоскостям АРС и АМС (АС и BD - взаимно  перпендикулярны, как диагонали квадрата).
Проведем МК перпендикулярно к РО. Треугольники МРК и ВРО подобны с коэффициентом подобия 2:5 (дано). Диагональ квадрата равна а√2, где а - сторона квадрата.
Тогда ВО=(1/2)*15√2*√2 = 15, а МК=6.
По Пифагору РО=√(ВР²-ВО²)=√(25²-15²)=20. Тогда РК=2*РО/5=8,
а ОК=РО-РК=20-8=12.
Тангенс угла МОР равен отношению противолежащего катета МК к прилежащему ОК в прямоугольном треугольнике ОМК (угол МКО=90°). то есть tg(<MOP)=6/12=1/2.
Ответ: искомый угол равен arctg(1/2)  или <MOP≈27°, а точнее 26°33'.