Question

Дан ромб ABCD окружность радиуса R описана около треугольника abd и проходит через центр окружости вписанной в треугольник CBD найти площадь ромба

Answer 1

Пусть K - центр вписанной в CBD окружности.
Ясно, что окружность, описанная вокруг CBD симметрична относительно BD к окружности, описанной вокруг ABD. То же касается и центра вписанной в ABD окружности M - он симметричен K относительно BD.
Вся соль задачи в том, что ∠KBD = ∠KAD = (1/2)*∠CBD (BK - биссектриса)
То есть у ромба ABCD острый угол в два раза меньше тупого.
То есть это ромб с углами 60° и 120°.
Поэтому AB = BC = CD = AD = BD = R√3; AC = BD*√3 = 3R;
S = BD*AC/2 =  R^2*3√3/2;