Question

Докажите формулу длины биссектрисы треугольника. lc^2=sqrt(ab-a1b1)

Answer 1

Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью (получилась точка Р). Рассмотрим треугольники ACL и ABР. Отметим равные углы ACL и BPL. Треугольник ACL подобен треугольнику ABP по двум углам. Отсюда AC/AP=AL/AB=CL/BP
1) AC*AB=AP*AL
2) AP=AL+LP.
По свойству отрезков пересекающихся хорд
AL*LP=LC*BL
3)LP=LC*BL/AL
Подставим (2) в (1) и воспользуемся (3):
AC*AB=(AL+LP)*AL
AC*AB=AL*AL+LP*AL=AL^2+LC*BL*AL/AL
AC*AB=AL^2+LC*BL
Отсюда:
AL^2=AC*AB-LC*BL
или
AL=sqrt(AC*AB-LC*BL)