Question

В правильном тетраэдре ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра,М-середина DO. a)через точку М проведите сечение, параллельное плоскости ВСD. б)Найдите периметр сечения. в)Найдите площадь сечения. г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?

Answer 1

Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра, М-середина DO.

Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра).
Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины.
АЕ = а*cos 30° = a√3/2.
Тогда отрезки АО и ОЕ равны:
АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6.
Примем длину МО = х.
Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию:
х/АО = EF/AF.
Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид:
х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3).
Отсюда значение х равно:
х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4.
Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?
Ответ: DM:MO = 3:1.

Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам.
Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.

Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна  площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4.
S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.

Периметр NКР равен (5/6)*3а = 5а/2.