Question

В четырехугольник АВСD можно вписать окружность и около него можноописать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь вотношении 1:6. Найдите тангенсы всех углов четырехугольника АВСD ирадиус окружности, описанной около 4-угольника, если наибольшая егосторона имеет длину 48

Answer 1

Легко найти стороны четырехугольника. Если AD = a = 48, и дальше по часовой стрелке AB = b, BC = c, CD = d, то a*b/(c*d) = 6; и a*d/(b*c) = 6;
Это все - отношение площадей, к примеру, если диагональ ВD, то площадь ABD S = a*b*sin(A)/2; а площадь BDC S/6 = c*d*sin(C)/2; а для вписанных четырехугольников сумма углов A и C равна 180°, то есть их синусы равны) 
если перемножить, получится с = a/6 = 8;
отсюда b/d = 1; то есть b = d; а поскольку a + c = b + d; сразу находится 
b = d = 28;
Легко видеть, что ABCD - равнобедренная трапеция, так как углы ADB и CBD равны - они опираются на равные хорды описанной окружности.
То есть AD II BC, и углы A = D; B = C = 180° - A;
Дальше все элементарно.
Проекция боковой стороны АВ на AD равна (48 - 8)/2 = 20; (если ВН высота, то АН = 20)
Отсюда высота BH = 8*√6; (кстати, это диаметр вписанной окружности)
tg(A) = BH/AH = 2*√6/5; tg(B) = - tg(A);
Найти R - радиус описанной окружности, технически не сложно. Нужно найти диагональ BD по теореме косинусов для треугольника ABD, а потом найти R из теоремы синусов для этого же треугольника. При этом известно, что
cos(A) = AH/AB =  5/7; sin(A) = BH/AB = 2*√6/7;
отсюда
BD^2 = 48^2 + 28^2 - 2*48*28*(5/7) = 1168; BD = 4*√73;
2*R*(2*√6/7) = 4*√73; 
R = 7*√(73/6); ну, тут уж ничего не поделать. :)

В качестве проверки :) Для вписанного и описанного четырехугольника (одновременно!)
S^2 = a*b*c*d; 
а для вписанного четырехугольника справедливо еще и такое соотношение
16*S^2*R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d);
то есть
R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d)/(16*a*b*c*d) =
= (48*28 + 8*28)*(28*8 + 48*28)*(48*8 + 28^2)/(16*48*28*28*8) = 7*√(73/6); :)))))