Question

Помогите пожалуйста! нужно доказать что четырехугольник ABCD является квадратом если A(2;2),B (-1;6),C(-5;3),D(-2;-1)

Answer 1

AB{ -3; 4} ,BC{-4; -3} , CD{3; -4} ;DA {4; 3} .
|AB| =|BC| =|CD| =|DA|= 5.
AB.BC = (-3)(-4) +4*(-3) =0  ⇒AB⊥BC .
BC.CD=(-4)(3) +(-3)(-4) =0   ⇒BC⊥CD .
CD.DA =3*4+(-4)*(3) = 0     ⇒CD⊥DA .
DA* AB =4*(-3) + 3*4 =0     ⇒DA⊥AB .

ABCD квадрат .

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является квадратом, нужно проверить выполнение следующих условий:

1. Проверить, являются ли все четыре стороны равными. Для этого можно вычислить длины сторон AB, BC, CD и DA и сравнить их. Если все стороны равны, то это первый признак квадрата.

2. Проверить, являются ли все четыре угла прямыми. Для этого можно вычислить углы между сторонами AB и BC, BC и CD, CD и DA, а также DA и AB. Если все углы равны 90 градусам, то это второй признак квадрата.

3. Проверить, являются ли диагонали AC и BD равными и перпендикулярными друг другу. Для этого можно вычислить длины диагоналей AC и BD и сравнить их. Если диагонали равны и перпендикулярны, то это третий признак квадрата.

Давайте вычислим значения сторон, углов и диагоналей для четырехугольника ABCD с данными координатами.

Вычисление длин сторон:

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2) = √((-3)^2 + (4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-5 + 1)^2 + (3 - 6)^2) = √((-4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Длина стороны CD: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-2 + 5)^2 + (-1 - 3)^2) = √((3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Длина стороны DA: DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((2 + 2)^2 + (2 + 1)^2) = √((4)^2 + (3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Проверка равенства всех сторон:

Все стороны AB, BC, CD и DA равны 5, поэтому первый признак квадрата выполняется.

Вычисление углов:

Угол между сторонами AB и BC: tg(θ1) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 2) / (-1 - 2) = 4 / -3 = -4/3

Угол между сторонами BC и CD: tg(θ2) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 6) / (-5 + 1) = -3 / -4 = 3/4

Угол между сторонами CD и DA: tg(θ3) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (-2 + 5) = -4 / 3 = -4/3

Угол между сторонами DA и AB: tg(θ4) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 + 2) / (2 + 2) = 4 / 4 = 1

Проверка прямых углов:

Углы между сторонами AB и BC, BC и CD, CD и DA, а также DA и AB не равны 90 градусам, поэтому второй признак квадрата не выполняется.

Вычисление длин диагоналей:

Длина диагонали AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-5 - 2)^2 + (3 - 2)^2) = √((-7)^2 + (1)^2) = √(49 + 1) = √50 = 5√2

Длина диагонали BD: BD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-2 + 2)^2 + (-1 - 6)^2) = √((0)^2 + (-7)^2) = √(0 + 49) = √49 = 7

Проверка равенства диагоналей:

Длина диагонали AC равна 5√2, а длина диагонали BD равна 7. Диагонали не равны, поэтому третий признак квадрата не выполняется.

Вывод:

Исходя из результатов проверки, не все условия для квадрата выполняются для четырехугольника ABCD с координатами A(2;2), B(-1;6), C(-5;3), D(-2;-1).