Question

1. Отрезок AB – диаметр окружности. Прямая AT – касательная к окружности, а прямая BT пересекает окружность в точке C. Вычислите градусные меры углов треугольника ATC, если известно, что градусная мера дуги AC равна 80°.

Answer 1

∠ACB - вписанный и опирается на дугу AB. Т.к. AB - диаметр окружности, то ∪AB=180° и ∠ACB=180/2=90° ⇒ ∠ACT=90° как смежный угол.

∪BC=∪AB-∪AC=180-80=100°. ∠BAC вписанный и опирается на дугу BC ⇒ ∠BAC=100/2=50°

По свойству касательной к окружности ∠BAT=90° ⇒ ∠CAT=90-50=40°

∠ATC=180-(40+90)=50°

Ответ: ∠ATC=50°; ∠ACT=90°; ∠CAT=40°

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим следующие элементы:

- \(O\) - центр окружности, - \(A\) и \(B\) - концы диаметра (\(AB\) - диаметр), - \(C\) - точка пересечения диаметра с окружностью (\(C\) лежит на \(BT\)), - \(T\) - точка касания касательной \(AT\) с окружностью.

Также у нас есть дуга \(AC\) с градусной мерой \(80^\circ\).

Сначала обратим внимание на центральный угол, опирающийся на эту дугу. Поскольку \(AC\) - дуга, опирающаяся на диаметр \(AB\), угол \(AOC\) (центральный угол) будет вдвое больше градусной меры дуги \(AC\), т.е. \(2 \cdot 80^\circ = 160^\circ\).

Теперь обратим внимание на треугольник \(ATC\). Угол при вершине \(T\) (угол между касательной и хордой) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т.е. \(80^\circ/2 = 40^\circ\).

Таким образом, градусные меры углов треугольника \(ATC\) равны:

- \(\angle ATC = 40^\circ\) (угол при вершине \(T\)), - \(\angle CTA = 90^\circ\) (угол между касательной и хордой), - \(\angle CAT = 180^\circ - \angle ATC - \angle CTA = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ\).

Итак, градусные меры углов треугольника \(ATC\) равны \(40^\circ\), \(90^\circ\) и \(50^\circ\).