Question

Через вершину В равнобедренного ΔАВС, у которого АС=30 см, АВ=ВС=25 см, к его плоскости проведен перпендикуляр ВD, а точка D соединена с вершинами А и С. Плоскости треугольников АDC и АВC образуют между собой угол 45°. Найти: длину перпендикуляра BD; площадь ΔАDС; угол между прямой CD и плоскостью ΔАВС.

Answer 1

Применена теорема Пифагора

Answer 2

Давайте разберемся с поставленной задачей.

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с боковыми сторонами \(AB = BC = 25 \, \text{см}\) и основанием \(AC = 30 \, \text{см}\). Проведена перпендикулярная к плоскости треугольника линия \(BD\), где \(D\) соединена с вершинами \(A\) и \(C\). Угол между плоскостями треугольников \(ADC\) и \(ABC\) равен \(45^\circ\).

1. Длина перпендикуляра BD:

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому угол \(BAC = BCA\). Также, угол \(ACB\) равен \(180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Из этого следует, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным треугольником с прямым углом при \(C\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BCD\). У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), и перпендикуляр \(BD\) проведен из вершины \(B\). Таким образом, \(BD\) является высотой треугольника \(ABC\), проведенной из вершины \(B\). Мы можем использовать формулу для высоты прямоугольного треугольника:

\[BD = \frac{BC \times AC}{AB}.\]

Подставляем значения:

\[BD = \frac{25 \times 30}{25} = 30 \, \text{см}.\]

Таким образом, длина перпендикуляра \(BD\) равна \(30 \, \text{см}\).

2. Площадь треугольника \(ADC\):

Мы знаем, что площадь треугольника можно выразить как половину произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Таким образом,

\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times AC \times \sin(\angle CAD).\]

Из условия задачи мы знаем, что угол \(\angle CAD = 45^\circ\). Подставляем значения:

\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times 30 \times \sin(45^\circ).\]

Учитывая, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), упрощаем выражение:

\[S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times 30 \times \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Сокращаем на 2:

\[S_{ADC} = 15 \times AD \times \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

3. Угол между прямой CD и плоскостью \(ABC\):

Угол между прямой и плоскостью можно найти как угол между вектором, параллельным прямой, и нормалью к плоскости. Поскольку прямая \(CD\) лежит в плоскости \(ABC\), то нормаль к плоскости совпадает с нормалью к вектору \(CD\).

Таким образом, угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между векторами \(CD\) и вектором, параллельным \(ABC\). Поскольку \(ABC\) - равнобедренный треугольник, вектор, параллельный \(BC\), также параллелен \(AB\).

Получаем, что угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между векторами \(CD\) и \(AB\). Используем скалярное произведение векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{CD}\| \cdot \|\vec{AB}\|}.\]

Так как угол между \(CD\) и \(AB\) равен углу между \(CD\) и нормалью к \(ABC\), мы можем записать:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{N}}{\|\vec{CD}\| \cdot \|\vec{N}\|},\]

где \(\vec{N}\) - нормаль к плоскости \(ABC\).

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{N}}{\|\vec{CD}\| \cdot \|\vec{N}\|}.\]

Здесь \(\|\vec{N}\|\) равно длине перпендикуляра \(BD\), который мы уже нашли (\(30 \, \text{см}\)), а \(\|\vec{CD}\|\) - это длина вектора \(CD\), которую мы можем найти из треугольника \(ADC\).

\[ \|\vec{CD}\| = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{AD^2 + 30^2}.\]

Теперь мы можем записать выражение для угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{N}}{\sqrt{AD^2 + 30^2} \cdot 30}.\]

У нас также есть соотношение для \(\cos(\theta)\) через синус угла межд