Question

Какими целыми числами выражаются стороны равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см, а описанной 25/8 см?

Answer 1

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно:

$r = \dfrac{b}{2} \sqrt{ \dfrac{2a - b}{2a + b} } \\ \\ R = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } = \dfrac{a^2}{ \sqrt{(2a - b)(2a + b)} }$,
где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, R- радиус описанной окружности.

Сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать.
Пусть $t = 2a - b, \ \ z = 2a + b$

$2r = b \sqrt{\dfrac{t}{z} } \\ \\ R = \dfrac{a^2}{ \sqrt{tz} } \\ \\ \\ 3 = b \sqrt{\dfrac{t}{z} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{tz} }$

Разделим первое уравнение на второе:

$\dfrac{3}{ \dfrac{25}{8} } = \dfrac{b \sqrt{t} \sqrt{tz} }{ \sqrt{z}a^2 } \\ \\ \\ \dfrac{24}{25} = \dfrac{bt}{a^2}$

Сделаем обратную замену:

$\dfrac{24}{25} = \dfrac{b(2a - b)}{a^2} \\ \\ 24a^2 = 50ab - 25b^2 \\ \\ 24a^2 - 50ab + 25b^2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |: b^2 \\ \\ 24 \dfrac{a^2}{b^2} - 50 \dfrac{a}{b} + 25 = 0$

Пусть $x = \dfrac{a}{b}$

$24x^2 - 50x + 25 = 0 \\ \\ D = 2500 - 25 \cdot 4 \cdot 24 = 100 = 10^2 \\ \\ x_1 = \dfrac{50 + 10}{24 \cdot 2} = \dfrac{60}{12 \cdot 4} = \dfrac{5}{4} \\ \\ x_2 = \dfrac{50 - 10}{24 \cdot 2} = \dfrac{40}{48} = \dfrac{5}{6}$

Значит, боковая сторона относится к основанию как 5:4, либо как 5:6.

Обратная замена:

$\dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ a = 1,25b \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{6,25b^2}{ \sqrt{4 \cdot 6,25b^2 - b^2 } } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{25b^2}{16 \sqrt{25b^2 - b^2} } \\ \\ \\ 1 = \dfrac{b^2}{2 \sqrt{24b^2} } \\ \\ 2 = \dfrac{b^2}{2 \sqrt{6}b } \\ \\ 4 = \dfrac{b}{ \sqrt{6} } \\ \\ b = 4 \sqrt{6}$ 

Получилось, что основание выражается иррациональным числом. Значит, данное значение не подходит.

Теперь решим второе уравнение:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{6} \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ \\ \dfrac{b}{a} = 1,2 \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - b^2} } \\ \\ b = 1,2a \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a^2}{ \sqrt{4a^2 - 1,44a^2} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a}{ \sqrt{2,56} } \\ \\ \dfrac{25}{8} = \dfrac{a}{1,6} \\ \\ a = 5 \\ \\ b = 1,2a = 6$

Значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см.
Ответ: 5 см; 5 см; 6 см. 

Answer 2

Добавляю альтернативное решение, которое, по моему , проще и короче.

Смотри рисунок. Там сделаны дополнительные обозначения.

Из подобия красного треуг. и АВЕ  имеем

R:(a/2)=a:(R+r+x)
подставляем исходные значения, получаем

2*25/(8a)=a/(25/8+3/2+x)  

откуда после простейшего преобразования получаем

(37+8x)*5²=32a²

a²=(37+8x)*5²/32
т.к.   а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое.
т.к.  5² не имеет общих множителей с 32, то  (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д.

если оно равно 1, то а=5,  тогда х=-5/8  (да,да, именно  -5/8  !, потому что реальный рисунок не такой, а именно т.О2 должна находиться между точками О1 и Е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6.
Итак , решено.
Но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше. 
Примем же это.
Тогда сторона  а=10, х=11,375
Т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный.  Но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности.
Значит, ответ единственный - 5,5,6. 

 

Answer 3

Для равнобедренного треугольника радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности связаны следующим образом:

r = (a * b * c) / (4 * S),

где r - радиус вписанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Также для равнобедренного треугольника стороны a и c равны, а сторона b - основание.

Площадь треугольника можно выразить через радиусы вписанной и описанной окружностей:

S = (a * b) / 2 = (a * (a/2)) / 2 = a^2 / 4,

где a - сторона треугольника.

Подставим выражение для площади в формулу радиуса вписанной окружности:

r = (a * b * c) / (4 * (a^2 / 4)), r = (a * b * c) / a^2, r = b * c / a.

Также радиус описанной окружности связан с радиусом вписанной окружности и стороной треугольника следующим образом:

R = (a * b * c) / (4 * S), R = (a * b * c) / (4 * (a^2 / 4)), R = b * c / a.

Из данных условия задачи известны радиус вписанной окружности r = 3/2 см и радиус описанной окружности R = 25/8 см.

Подставим эти значения в выражение для радиуса вписанной окружности:

3/2 = b * c / a.

Подставим эти значения в выражение для радиуса описанной окружности:

25/8 = b * c / a.

Таким образом, система уравнений, которую нужно решить, имеет вид:

3/2 = b * c / a, 25/8 = b * c / a.

Решая эту систему уравнений, можно найти значения сторон треугольника a, b и c, которые выражаются целыми числами.