Question

В пирамиде проведено сечение паралеллельно основанию. Плоскость сечения делит высоту пирамиды на части, отношение которых равно 2:1, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды?

Answer 1

Сечение пирамиды, параллельное её основанию, отсекает от неё подобную ей, но меньшего размера пирамиду.  Подобие следует из равенства углов при параллельных основаниях и общей вершине. 
Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия их линейных размеров. 
Высота пирамиды сечением делится в отношении 2:1. Вся высота равна 3-м частям этого отношения, поэтому k=2/3, а 
k³=8/27.
В этом отношении сечение делит объем пирамиды. 

Answer 2

Предположим, что высота пирамиды равна \( h \), а отрезки, на которые плоскость сечения делит высоту, равны \( h_1 \) и \( h_2 \), причем \( h_1 : h_2 = 2:1 \).

Таким образом, мы можем выразить \( h_1 \) и \( h_2 \) в виде:

\[ h_1 = \frac{2}{3}h \] \[ h_2 = \frac{1}{3}h \]

Объем пирамиды можно выразить через основание и высоту:

\[ V = \frac{1}{3}Bh \]

где \( B \) - площадь основания. Так как мы сечем пирамиду параллельно основанию, форма сечения будет подобна основанию, и площадь сечения также будет пропорциональной площади основания.

Обозначим площадь сечения через \( S \), тогда:

\[ S = k \cdot B \]

где \( k \) - коэффициент пропорциональности. В данном случае, так как сечение делится на две части в отношении 2:1, \( k \) будет равно 2.

Теперь мы можем записать объем сечения \( V_s \) как:

\[ V_s = \frac{1}{3}S \cdot h_s \]

где \( h_s \) - высота сечения. Так как сечение делит высоту пирамиды в отношении 2:1, то:

\[ h_s = \frac{2}{3}h \]

Подставим значения в формулу для объема сечения:

\[ V_s = \frac{1}{3} \cdot 2B \cdot \frac{2}{3}h \]

Упростим это выражение:

\[ V_s = \frac{4}{9}Bh \]

Теперь сравним объем сечения \( V_s \) с общим объемом пирамиды \( V \):

\[ \frac{V_s}{V} = \frac{\frac{4}{9}Bh}{\frac{1}{3}Bh} \]

Упростим это выражение:

\[ \frac{V_s}{V} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{4}{3} \]

Итак, плоскость сечения делит объем пирамиды на две части в отношении 4:3.