Question

Найдите координаты точки М', симметричной точке М(3,1,-4) относительно прямой x=-1+2t, y=-4-t, z=-1-t

Answer 1

Направляющий вектор прямой
АВ(2;-1;-1)

Найдём координату точки А (значение t) на прямой такую что
АВ*АМ=0 это перпендикуляр из М на прямую.
АМ(3+1-2t;1+4+t;-4+1+t)

AB*AM= 8-4t-5-t+3-t=0
t=1
A(1;-5;-2)

M' симметрична М относительно А
М'(-1;-11;0)

Answer 2

Чтобы найти координаты точки M', симметричной точке M(3, 1, -4) относительно прямой x = -1 + 2t, y = -4 - t, z = -1 - t, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(3, 1, -4) и перпендикулярной данной прямой x = -1 + 2t, y = -4 - t, z = -1 - t. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, параллельных данным прямым.

Направляющий вектор прямой x = -1 + 2t, y = -4 - t, z = -1 - t: d = (2, -1, -1) Вектор, соединяющий точки M и произвольную точку на прямой: v = (3 - (-1 + 2t), 1 - (-4 - t), -4 - (-1 - t)) = (4 + 2t, 5 + t, -3 - t) Нормальный вектор прямой, проходящей через M и перпендикулярной x = -1 + 2t, y = -4 - t, z = -1 - t: n = d x v Вычислим векторное произведение: n = (2, -1, -1) x (4 + 2t, 5 + t, -3 - t) = (3 + 3t, -4 - 7t, -13 - 4t) 2. Теперь нам нужно найти точку пересечения прямой x = -1 + 2t, y = -4 - t, z = -1 - t и прямой, которая проходит через точку M(3, 1, -4) и имеет направляющий вектор n(3 + 3t, -4 - 7t, -13 - 4t).

Подставим уравнение прямой M в уравнение второй прямой: -1 + 2t = 3 + 3t -4 - t = 1 - 4 - 7t -1 - t = -4 - 13 - 4t Решая эти уравнения, мы найдем значение параметра t. Из первого уравнения получаем: -1 + 2t - 3 = 3t -4 = t Подставим это значение t во второе и третье уравнения: -4 - (-4) = 1 - 4 - 7(-4) -1 - (-4) = -4 - 13 - 4(-4) Упростив эти уравнения, получим: 0 = 0 0 = 0 Получаем, что значение t не имеет значения, и прямые совпадают. 3. Таким образом, точка M' совпадает с точкой M(3, 1, -4).

Итак, координаты точки M' равны (3, 1, -4).