Question

надо доказать что если точка равноудалена от сторон угла,т она принадлежит биссектрисе

Answer 1

Если из каждого угла провести бис-су, то эта точка пересечения будет равно удалена от каждой стороны

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где точка P равноудалена от сторон AB и AC. Мы хотим доказать, что точка P принадлежит биссектрисе угла BAC.

Пусть точка P равноудалена от сторон AB и AC. Обозначим расстояние от точки P до стороны AB как d1 и расстояние от точки P до стороны AC как d2. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

1. \(d_1 = d_2\)

Теперь рассмотрим биссектрису угла BAC. Пусть I - точка пересечения биссектрисы с отрезком BC (точка, делящая сторону BC на две равные части). Тогда расстояние от точки P до биссектрисы (до точки I) равно половине суммы расстояний от точки P до сторон AB и AC:

2. \(d_1 + d_2 = 2 \cdot d_I\)

Теперь объединим уравнения (1) и (2):

\[d_1 + d_2 = 2 \cdot d_I\]

Но мы знаем, что \(d_1 = d_2\), поэтому можно записать:

\[2 \cdot d_1 = 2 \cdot d_I\]

Разделим обе стороны на 2:

\[d_1 = d_I\]

Это означает, что расстояние от точки P до точки I (точки пересечения биссектрисы с отрезком BC) равно расстоянию от точки P до стороны AB. Следовательно, точка P принадлежит биссектрисе угла BAC.

Таким образом, мы доказали, что если точка равноудалена от сторон угла, то она принадлежит биссектрисе этого угла.