Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Точка М удалена от каждой из сторон треугольника на 2,5. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Answer 1

М проектируется в центр вписанной окружности.

Это очень нудно и долго надо расписывать все двугранные углы. На самом деле это очевидно, но для примера скажу, что если на боковой грани пирамиды, которая получается, если соединить М с вершинами, опустить высоту на ребро основания - это называется "апофема", - то ребро будет перпендикулярно апофеме и прямой - перпендикуляру из М на плоскость основания, поэтому соединение проекции с основанием апофемы перпендикулярно ребру, то же самое касается других ребер, и все эти перпендикуляры равны, поскольку равны апофемы - это задано в условии, все апофемы равны 2,5. Поэтому точка проекции - центр вписанной окружности. 

Хватит очевидного, вернемся к решению. 

катеты 6 и 8, значит гипотенуза 10, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника (6 + 8 - 10)/2 = 2.

Нужное расстояние вычисляется по т.П.

h^2 = 2,5^2 - 2^2 = 2,25 = 1,5^2; h = 1,5

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB = 6 (длина одного катета), BC = 8 (длина второго катета), и AC - гипотенуза. Пусть M - точка, удаленная на расстояние 2.5 от каждой стороны треугольника.

1. Найдем длину гипотенузы AC с использованием теоремы Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.\] \[AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]

2. Найдем площадь треугольника ABC с использованием формулы: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC.\] \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24.\]

3. Теперь найдем высоту треугольника, опущенную из вершины A на гипотенузу AC. По формуле для площади треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h.\] Подставляем известные значения: \[24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h.\] Решаем уравнение для h: \[48 = 10h.\] \[h = \frac{48}{10} = 4.8.\]

4. Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Расстояние \(d\) от точки \(M\) до плоскости треугольника равно: \[d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},\] где \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты точки \(M\), а уравнение плоскости имеет вид \(ax + by + cz + d = 0\).

В нашем случае уравнение плоскости можно записать, используя координаты вершин треугольника. Пусть A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(0, 8, 0). Тогда уравнение плоскости имеет вид: \[4.8x + 4y + z = 24.\]

Таким образом, координаты точки \(M\) равны (x, y, z) = (2.5, 2.5, 2.5). Подставляем значения в формулу: \[d = \frac{|4.8 \cdot 2.5 + 4 \cdot 2.5 + 2.5|}{\sqrt{4.8^2 + 4^2 + 1^2}}.\]

Вычисляем числитель и знаменатель: \[d = \frac{|12 + 10 + 2.5|}{\sqrt{23.04 + 16 + 1}}.\]

\[d = \frac{|24.5|}{\sqrt{40.04}}.\]

\[d = \frac{24.5}{6.32} \approx 3.87.\]

Таким образом, расстояние от точки \(M\) до плоскости треугольника составляет примерно 3.87 единицы длины.