Question

Срочно, помогите!В треугольнике АВС угол С прямой; CD - перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и B.Найдите площадь треугольника ADB, если дано: CA = 3, BC = 2 и CD = 1.

Answer 1

Применена теорема Пифагора,  формула площади треугольника

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тремя теоремами: теоремой Пифагора, теоремой о высоте треугольника и формулой для площади треугольника.

1. Теорема Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

2. Теорема о высоте треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( AB \) - основание, \( h \) - высота.

3. Формула для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) и \( b \) - длины сторон, \( C \) - угол между этими сторонами.

Теперь приступим к решению:

1. Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( AB \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = AC^2 - BC^2 \] \[ AB^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \] \[ AB = \sqrt{5} \]

2. Найдем высоту треугольника \( h \). Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника и длиной основания \( AB \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \] \[ h = \frac{2S}{AB} \] Площадь треугольника \( ABC \) равна половине произведения сторон \( AC \) и \( BC \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \] Теперь можем найти высоту \( h \): \[ h = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \]

3. Теперь рассмотрим треугольник \( ADB \). Мы уже знаем длины сторон \( AB \) и \( AD \) (равной \( CD \)), а также высоту \( h \). Используем формулу для площади треугольника: \[ S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle ADB) \] Учитывая, что \( \sin(\angle ADB) = \frac{h}{AD} \), подставим значения: \[ S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 1 \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \]

Таким образом, площадь треугольника \( ADB \) равна 3.