Question

В прямоугольном треугольнике высота h делит гипотенузу на два отрезка, разность которых равнаи3 см. Найдите наибольший из этих отрезков, если h=2 см.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике высота является средним геометрическим для проекций катетов на гипотенузу (проекции - это отрезки, на которые высота делит гипотенуза).
Пусть a и b - данные отрезки. Следуя условию задачи, составим систему уравнений:
$\sqrt{ab} = 2 \\ a - b = 3 \\ \\ ab = 4 \\ a - b = 3 \\ \\ a = b + 3 \\ b(b + 3) = 4 \\ \\ a = b + 3 \\ b^2 + 3b - 4 = 0 \\ \\ b_1 + b_2 = -3 \\ b_1 \cdot b_2 = -4 \\ \\ b_1 = 1 \\ b_2 = -4 - ne \ ud. \\ \\ b = 1 \\ a = 4$
Значит, данные отрезки равны 1 и 4 см соответственно.
Ответ: 4 см.

Answer 2

Квадрат высоты (h) из прямого угла равен произведению длин отрезков (a ,b), на которые она делит гипотенузу.

h^2=ab <=> a(a-3)=4 <=> a^2 -3a -4 =0 <=> a=4, a>0

Answer 3

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через \(a\) и \(b\), а гипотенузу через \(c\). Так как треугольник прямоугольный, то справедлива теорема Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В данной задаче гипотенуза \(c\) делится высотой \(h\) на два отрезка, длина которых обозначается как \(x\) и \(c-x\). Тогда:

\[c = x + (c - x)\]

Из условия задачи известно, что разность этих отрезков равна 3 см:

\[x - (c - x) = 3\]

Решим уравнение относительно \(x\):

\[2x - c = 3\]

Также у нас есть информация, что \(h = 2\) см. Выразим высоту через катеты:

\[h^2 = ab\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases}2x - c = 3 \\ h^2 = ab\end{cases}\]

Подставим известные значения:

\[\begin{cases}2x - c = 3 \\ 2^2 = ab\end{cases}\]

У нас также есть теорема Пифагора, которая гласит \(c^2 = a^2 + b^2\). Подставим эту формулу в систему:

\[\begin{cases}2x - c = 3 \\ 2^2 = a^2 + b^2 \\ c^2 = a^2 + b^2\end{cases}\]

Теперь решим систему уравнений. Сначала найдем \(c\), используя теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

\[c^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\]

\[c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Теперь подставим \(c\) в первое уравнение системы:

\[2x - 2\sqrt{2} = 3\]

\[2x = 3 + 2\sqrt{2}\]

\[x = \frac{3}{2} + \sqrt{2}\]

Таким образом, наибольший из отрезков \(x\) равен \(\frac{3}{2} + \sqrt{2}\) см.