Question

Площадь равнобедренной трапеции равна 2. Найдите наименьшее значение длины диагонали трапеции (с рисунком и решением полным)

Answer 1

Пусть АВСD - равнобочная трапеция, AB=CD, BC||AD, BC<AD, S(ABCD)=2

Проведем высоты BK, CH.
Тогда 


По теореме Пифагора диагональ трапеции 

Пусть , тогда 

Рассмотрим функцию , x>0


ищем критические точки



при х є 
при х є 
 - точка минимума

значит наименьшее значение длины диагонали трапеции равно

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение длины диагонали равнобедренной трапеции, которая имеет площадь равную 2, давайте воспользуемся формулой площади трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти, умножив полусумму оснований на высоту трапеции: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - длины оснований, h - высота трапеции.

В нашем случае площадь равна 2, поэтому получаем уравнение: 2 = ((a + b) / 2) * h.

Далее, воспользуемся формулой длины диагонали равнобедренной трапеции: d = √(h^2 + ((b - a) / 2)^2).

Для нахождения наименьшего значения длины диагонали, мы должны минимизировать выражение под корнем. Для этого воспользуемся методом дифференциального исчисления.

Решение:

1. Выразим h из уравнения для площади: h = (4 / (a + b)). 2. Подставим выражение для h в формулу длины диагонали: d = √((4 / (a + b))^2 + ((b - a) / 2)^2). 3. Разложим выражение под корнем: d = √(16 / (a + b)^2 + (b^2 - 2ab + a^2) / 4). 4. Упростим выражение: d = √(16 + (b - a)^2) / (2 * (a + b)). 5. Для нахождения наименьшего значения длины диагонали, возьмем производную по переменным a и b и приравняем их к нулю. 6. Найдем производную по a: d' / da = -2 * (b - a) / (2 * (a + b) * √(16 + (b - a)^2)) = 0. 7. Распишем уравнение: -2 * (b - a) = 0. 8. Разрешим уравнение относительно a: b - a = 0. 9. Получаем a = b. 10. Подставим a = b в уравнение для площади: 2 = ((a + a) / 2) * (4 / (a + a)). 11. Упростим уравнение: 2 = 4 / a. 12. Разрешим уравнение относительно a: a = 2. 13. Так как a = b, получаем b = 2. 14. Подставляем a = 2 и b = 2 в формулу длины диагонали: d = √(16 + (2 - 2)^2) / (2 * (2 + 2)). 15. Упростим выражение: d = √16 / 8 = 2 / 2 = 1.

Таким образом, наименьшее значение длины диагонали равнобедренной трапеции равно 1, когда основания трапеции равны 2.