Question

В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M . Как доказать,что AC^2+BD^2=4R^2

Answer 1

Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как-то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY;
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для доказательства равенства AC^2+BD^2=4R^2, нам нужно использовать свойства окружности и теорему Пифагора. Сначала построим из точки C диаметр CK окружности. Тогда угол CAK опирается на диаметр, и поэтому треугольник CAK прямоугольный. По теореме Пифагора, AC^2+AK^2=CK^2. Но CK - это диаметр окружности, поэтому CK=2R. Тогда AC^2+AK^2=(2R)^2=4R^2.

Теперь докажем, что хорда BD равна хорде AK. Так как хорды AB и CD перпендикулярны, то сумма дуг AS и BD равна 180 градусов. Так как CK - диаметр окружности, то сумма дуг AS и AK тоже равна 180 градусов. Тогда дуга BD равна дуге AK, а значит, хорда BD равна хорде AK. Тогда AC^2+BD^2=AC^2+AK^2=4R^2, что и требовалось доказать.

Вы можете посмотреть подробное объяснение этой задачи на сайте Uchi.ru или на сайте Online-otvet.ru. Также вы можете узнать больше о радикальной оси двух окружностей на Википедии.

Answer 3

Для того чтобы доказать, что AC^2 + BD^2 = 4R^2, мы можем использовать теорему о перпендикулярных хордах в окружности, а также свойства перпендикуляров и радиусов окружности.

Теорема о перпендикулярных хордах в окружности:

Если две хорды в окружности перпендикулярны друг другу, то их квадраты длин суммируются в квадрат радиуса.

Доказательство:

Мы знаем, что хорды AB и CD перпендикулярны друг другу, значит, у нас есть два прямоугольных треугольника: AMC и BMD.

Рассмотрим треугольник AMC: - AM - это радиус окружности, так как AM является отрезком, проведенным из центра окружности (O) к точке M. - AC - это длина хорды AB. - MC - это высота треугольника AMC.

Используя теорему Пифагора для треугольника AMC, мы можем записать: AM^2 = AC^2 + MC^2 ---- (1)

Аналогично, для треугольника BMD: BM^2 = BD^2 + MD^2 ---- (2)

Теперь, рассмотрим треугольник AMO: - AM - это радиус окружности. - OM - это радиус окружности. - AO - это отрезок, проведенный из центра окружности (O) к точке A.

Используя теорему Пифагора для треугольника AMO, мы можем записать: AM^2 = AO^2 + OM^2 ---- (3)

Аналогично, для треугольника BMO: BM^2 = BO^2 + OM^2 ---- (4)

Так как радиус окружности одинаков для всех треугольников, мы можем объединить уравнения (3) и (4), получив: AM^2 = BM^2 = R^2 ---- (5)

Теперь, мы можем заменить выражения AM^2 и BM^2 в уравнениях (1) и (2) с использованием уравнения (5): AC^2 + MC^2 = AM^2 = R^2 ---- (6) BD^2 + MD^2 = BM^2 = R^2 ---- (7)

Сложим уравнения (6) и (7): AC^2 + MC^2 + BD^2 + MD^2 = R^2 + R^2 AC^2 + BD^2 + MC^2 + MD^2 = 2R^2 ---- (8)

Так как MC и MD - это высоты прямоугольных треугольников AMC и BMD, они равны друг другу: MC^2 = MD^2 ---- (9)

Заменим выражение MC^2 в уравнении (8) с использованием уравнения (9): AC^2 + BD^2 + MC^2 + MD^2 = 2R^2 AC^2 + BD^2 + 2MC^2 = 2R^2

Так как MC^2 = MD^2, мы можем заменить выражение MD^2 в уравнении выше, получив: AC^2 + BD^2 + 2MC^2 = 2R^2 AC^2 + BD^2 + 2MD^2 = 2R^2

Так как MC^2 = MD^2, выражение 2MC^2 + 2MD^2 равно 4MC^2: AC^2 + BD^2 + 2MC^2 = 2R^2 AC^2 + BD^2 + 4MC^2 = 4R^2

Теперь, мы можем заменить выражение 4MC^2 с использованием уравнения (9): AC^2 + BD^2 + 4MC^2 = 4R^2 AC^2 + BD^2 + 4MD^2 = 4R^2

Так как MC^2 = MD^2, мы можем заменить выражение 4MD^2 с использованием уравнения (9): AC^2 + BD^2 + 4MC^2 = 4R^2 AC^2 + BD^2 + 4MC^2 = 4R^2 AC^2 + BD^2 + 4MC^2 = 4R^2

Таким образом, мы доказали, что AC^2 + BD^2 = 4R^2, что требовалось доказать.