Question

Теорема о площади параллерограмма (докозательство)

Answer 1

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый. 
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE • AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a • h. Теорема доказана.

Answer 2

Конечно, я могу помочь с доказательством теоремы о площади параллелограмма. Давай начнем!

Пусть у нас есть параллелограмм с двумя векторами сторон \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Площадь этого параллелограмма можно выразить через векторное произведение этих векторов.

1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения сторон: \[ S = | \vec{a} \times \vec{b} | \]

2. Давай начнем с определения векторного произведения двух векторов. Пусть \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) - координаты векторов в трехмерном пространстве.

3. Векторное произведение \( \vec{a} \times \vec{b} \) можно выразить через определитель матрицы:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

где \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) - единичные векторы, \( i, j, k \) - базисные векторы.

4. Вычислим определитель:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \]

5. Теперь найдем модуль этого вектора:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2} \]

6. Это значение представляет собой площадь параллелограмма, образованного векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Таким образом, теорема о площади параллелограмма говорит о том, что площадь параллелограмма, образованного двумя векторами, равна модулю их векторного произведения.