Question

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой высота равна корень из 3, а плоский угол при вершине равен 30 градусов

Answer 1

Это не простая задача. Правильная пирамида- в основании квадрат, Вершина проектируется в центр квадрата.
Рассмотрим боковой треугольник.
Надо найти связь между боковым ребром и стороной основания.
Обозначим их а и х соответственно.
По теореме косинусов x²= a²+a²- 2a·a·cos 30, отсюда х²=а²(2-√3)
Высота бокового треугольника (апофема) по теореме Пифагора  l²= а²- х²/4/

Рассмотрим треугольник, сторонами которго является апофема, высота пирамиды и третья сторона соединияет их основания. Эта третья сторона половина стороны квадрата, т.е х/2
Тоже применим терему Пифагора    а² -х²/4 = (√3)²+ х²/4,
х²/2=а²-3, х²=2а²-6.
приравняем правые части х². Это выражение и то что было выше и найдено по теореме косинусов.

2а² - 6 = а² (2-√3)
или а²(2-2+√3)=6, отсюда, найдем а²= 6:√3.  Надо только выразить х².
объем пирамиды равен 1/3 х² ·√3= ... = 2-√3

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с заданными параметрами (высота и плоский угол при вершине), мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h, \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Поскольку у нас четырехугольная пирамида, ее основание - четырехугольник. Мы можем разбить его на два треугольника. Пусть \( a \) и \( b \) - стороны основания, \( \alpha \) и \( \beta \) - углы при основании. Тогда площадь основания равна:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha + \beta). \]

В данном случае у нас плоский угол при вершине равен \( 30^\circ \), что означает, что каждый из двух углов \( \alpha \) и \( \beta \) при основании равен \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).

Теперь мы знаем, что \( h = \sqrt{3} \). Таким образом, мы можем выразить объем пирамиды через стороны основания и углы при основании.

Подставим значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(150^\circ) \times \sqrt{3}. \]

Теперь остается только подсчитать этот выражение для заданных значений сторон и углов.