Question

Середина м стороны ad выпуклого четырехугольника abcd равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=9, а углы B и C четырехугольника равны соответственно 98 и 142

Answer 1

Проведём окружность, с центром в точке М, радиусом AM. по условию AM=DM=MB=MC=R
из этого следует, что треугольники AMB и MDC - равнобедренные.
Так как вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность=>A+C=180;D+B=180 => A=180-C=180-142=38; D=180-B=180-98=82
Угол BMC=180-82-38=60 (по сумме углов треугльника)
Находим R по теореме сосинусов:
BC²=R²+R²-2R*R*cos60
9²=2R²-2R²*1/2
81=2R²-R²
81=R²
R=√81=9 (вообще 2 корня (9 и -9), но -9 не подходит по условию)
AD=2R=9*2=18

Answer 2

Дан выпуклый четырехугольник ABCD, где BC = 9, а углы B и C равны 98 и 142 градусам соответственно. Мы хотим найти длину отрезка AD, который проведен из середины стороны AD и равноудален от всех вершин четырехугольника.

Итак, у нас есть четырехугольник ABCD, где углы B и C равны 98 и 142 градусам, соответственно. Это означает, что угол A равен:

\[ \angle A = 360^\circ - \angle B - \angle C - \angle D \]

Теперь мы знаем, что сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно:

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Подставим значение угла A:

\[ 360^\circ - \angle B - \angle C - \angle D + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Упростим:

\[ 360^\circ = 360^\circ \]

Это верно, что подтверждает корректность введенных углов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что AD - медиана, проведенная из середины стороны AC, и она равноудалена от всех вершин треугольника. Это означает, что угол при вершине D делится пополам.

Таким образом, \(\angle ADC = \frac{\angle A}{2}\).

Теперь у нас есть два угла в треугольнике ADC: \(\angle ADC\) и \(\angle ACD\). Мы можем найти третий угол, используя свойство суммы углов треугольника:

\[ \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{\angle A}{2} + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ \]

Теперь мы должны использовать информацию об углах B и C в четырехугольнике ABCD. У нас есть:

\[ \angle B + \angle C = 98^\circ + 142^\circ = 240^\circ \]

Также, учитывая, что угол CAD равен углу B, получаем:

\[ \angle CAD = \angle B = 98^\circ \]

Теперь мы можем решить уравнение:

\[ \frac{\angle A}{2} + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ \]

\[ \frac{\angle A}{2} + \angle ACD + 98^\circ = 180^\circ \]

Теперь найдем угол A:

\[ \frac{\angle A}{2} + \angle ACD = 82^\circ \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ \angle A + 2 \cdot \angle ACD = 164^\circ \]

Теперь у нас есть угол A и информация о стороне BC. Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AD:

\[ \frac{AD}{\sin A} = \frac{BC}{\sin \angle ACD} \]

Подставим значения:

\[ \frac{AD}{\sin 164^\circ} = \frac{9}{\sin \angle ACD} \]

Теперь найдем \(\sin \angle ACD\):

\[ \sin \angle ACD = \frac{9}{AD} \cdot \sin 164^\circ \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AD:

\[ AD = \frac{9}{\sin \angle ACD} \cdot \sin 164^\circ \]

Таким образом, для нахождения длины отрезка AD, нам нужно вычислить значение \(\sin \angle ACD\), а затем использовать его в формуле.