Question

В круге радиусом 3 проведена хорда. Под каким углом она видна из центра, если её длина: а) равна 1; б) равна 3; в) меньше чем 0.1; г) больше чем 4; д) равна расстоянию от неё до центра; е) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей.

Answer 1

Пусть будет окружность с центром в точке О, АВ - хорда. Искомый угол - угол АОВ.
а) По теореме косинусов:
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2*OA*OB*cosAOB \\\\ cosAOB= \frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2*OA*OB} = \frac{9+9-1}{2*9*9}=0,1049$
Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.

б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.

в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов
$cosAOB\ \textgreater \ \frac{OA^{2}+OB^{2}-0,1^{2}}{2*OA*OB}\\\\ cosAOB\ \textgreater \ 0,1110$
Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.

г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов
$cosAOB\ \textless \ \frac{OA^{2}+OB^{2}-4^{2}}{2*OA*OB}\\\\ cosAOB\ \textless \ 0,0123$
Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.

д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора
$OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}\\\\ 9=5x^{2}\\\\ x= \frac{3 \sqrt{5} }{5}$
Значит, АВ=$\frac{ 6\sqrt{5} }{5}$. Тогда по теореме косинусов
$cosAOB= \frac{9+9- \frac{36*5}{25} }{162} =0,0666$
а угол АОВ=86 градусов 11 минут.

е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС,  а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами окружности и треугольника.

Пусть \(O\) - центр окружности, \(AB\) - хорда радиуса \(r\) (в данном случае \(r = 3\)). Обозначим угол между хордой и радиусом как \(\theta\).


Тогда для решения задачи нам нужно определить угол \(\theta\) в зависимости от длины хорды \(AB\):

а) Если длина хорды \(AB\) равна 1, то \(AB = 2r\sin(\frac{\theta}{2}) = 1\), следовательно, \(\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2r}\). Отсюда получаем \(\theta = 2\arcsin\left(\frac{1}{2r}\right)\).

б) Если длина хорды \(AB\) равна 3, то \(AB = 2r\sin(\frac{\theta}{2}) = 3\), следовательно, \(\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{3}{2r}\). Отсюда получаем \(\theta = 2\arcsin\left(\frac{3}{2r}\right)\).

в) Если длина хорды \(AB\) меньше чем 0.1, то \(\sin(\frac{\theta}{2}) < \frac{0.1}{2r}\), что приводит к \(\theta < 2\arcsin\left(\frac{0.1}{2r}\right)\).

г) Если длина хорды \(AB\) больше чем 4, то \(\sin(\frac{\theta}{2}) > \frac{4}{2r}\), что приводит к \(\theta > 2\arcsin\left(\frac{4}{2r}\right)\).

д) Если длина хорды \(AB\) равна расстоянию от неё до центра, то \(AB = 2r\sin(\frac{\theta}{2}) = r\), следовательно, \(\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2}\), что приводит к \(\theta = 2\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\).

е) Если длина хорды \(AB\) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей, то эта хорда - диаметр окружности. Таким образом, \(\theta = 2\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\).

Таким образом, мы можем рассчитать углы для каждого из вариантов длины хорды.