Question

ABCD квадрат. Вне плоскости квадрата выбрана точка K,причем KA перпендикулярна AB.Докажите , что прямая AB перпендикуляр на плоскости AKD

Answer 1

По условию АВ⊥КА, и АВ⊥АD- стороны квадрата. Если прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АКD, то она перпендикулярна самой плоскости.

Answer 2

Чтобы доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости AKD, нужно показать, что AB перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости AKD.

Поскольку KA перпендикулярна AB, то KA и AB образуют прямой угол. Также из определения квадрата следует, что все стороны квадрата перпендикулярны друг другу. Значит, KA и AD тоже образуют прямой угол.

Теперь рассмотрим прямую BD. Поскольку BD - диагональ квадрата, она делит его на два прямоугольных треугольника. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что диагональ является биссектрисой прямого угла. Таким образом, BD делит угол BDA пополам.

Так как KA и AD образуют прямой угол, а BD делит угол BDA пополам, то KA и BD также образуют прямой угол.

Теперь рассмотрим треугольник AKD. Из свойства прямого угла следует, что прямая, перпендикулярная одной из сторон прямого угла, перпендикулярна и другой стороне. Таким образом, прямая AB, перпендикулярная KA, также перпендикулярна и AD.

Итак, мы доказали, что прямая AB перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости AKD. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости AKD.