Question

Отрезок MN параллелен основаниям АD и ВС трапеции АВСD и проходит через точку пересечения диагоналей (см. рис. 5). Из- вестно что MN = 1,6 и АD = 4. Найти меньшее основание трапеции и расстояние между серединами диагоналей

Answer 1

Здесь удобно воспользоваться формулой : отрезок параллельный основаниями проходящий через точку пересечения диагоналей, концы которого лежат на боковых сторонах равен среднему гармоническому оснований. Т.е. он равен удвоенному произведению оснований деленному на их сумму. Теорему можно найти, но и несложно вывести. Тогда, обозначив неизвестное основание за х, получим :
1,6*(4+х)=8х
4+х=5х
х=1
Меньшее основание равно 1.
Расстояние между серединами диагоналей равно (средняя линия - меньшее основание)=(4+1)/2-1=1,5

Answer 2

Давайте обозначим точки следующим образом:

- \(A\) и \(B\) - концы большего основания трапеции, причем \(AB || CD\), - \(C\) и \(D\) - концы меньшего основания трапеции, - \(M\) и \(N\) - середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) соответственно.

Также у нас есть информация:

- \(MN = 1.6\), - \(AD = 4\).

Так как отрезок \(MN\) параллелен основаниям \(AD\) и \(BC\), а также проходит через точку пересечения диагоналей, то \(MN\) является средней линией трапеции \(ABCD\). Следовательно, длина меньшего основания \(CD\) равна половине длины большего основания \(AB\). Обозначим длину \(CD\) через \(x\), тогда \(AB = 2x\).

Теперь у нас есть два треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle MND\). Мы знаем, что \(AD = 4\) и \(MN = 1.6\), а также что \(M\) и \(N\) - середины соответствующих сторон. По теореме о средних линиях треугольника, мы можем утверждать, что отношение длин средней линии к основе треугольника равно 1:2. Таким образом, \(\frac{MN}{AD} = \frac{1}{2}\). Подставим известные значения:

\[ \frac{1.6}{4} = \frac{1}{2} \]

Отсюда получаем, что \(x = CD = 0.8\). Теперь мы можем найти длину большего основания \(AB\):

\[ AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot 0.8 = 1.6 \]

Таким образом, меньшее основание трапеции \(CD\) равно 0.8, а большее основание \(AB\) равно 1.6.

Чтобы найти расстояние между серединами диагоналей, давайте обозначим середины диагоналей через \(P\) и \(Q\). Тогда \(P\) - середина \(AC\), и \(Q\) - середина \(BD\). По теореме о средних линиях в трапеции, \(PQ\) параллелен основаниям и равен половине разности длин оснований. Таким образом,

\[ PQ = \frac{1}{2} \cdot |AB - CD| = \frac{1}{2} \cdot |1.6 - 0.8| = 0.4 \]

Таким образом, расстояние между серединами диагоналей \(PQ\) равно 0.4.