Question

В треугольнике MNK MN=6см, MK= 8см, NK=10см. Докажите, что MK- отрезок касательной, проведенной из точки K и окружности с центром в точке N и радиуса, равным 6см.

Answer 1

Этот треугольник MNK  - прямоугольный, один из тех. стороны которых принадлежат так называемым Пифагоровым тройкам. 

В этом треугольнике ( египетском) отношение сторон равно 3:4:5

Угол  М прямой.   

Поскольку радиус окружности будет равен MN=6см, МК, как перпендикулярная к радиусу, будет отрезком касательной к этой окружности .  

 

Answer 2

Чтобы доказать, что отрезок MK является касательной к окружности с центром в точке N и радиусом 6 см, можно воспользоваться свойствами треугольников, образованных вокруг окружности.

Для начала, обратим внимание на то, что в треугольнике MNK известны стороны MK, MN и NK. Применим теорему косинусов, чтобы найти угол MNK (обозначим его как α).

Вспомним формулу косинусов для треугольника: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \alpha,\] где \(c\) - длина стороны противолежащей углу \(\alpha\), \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон.

Применяя эту формулу к треугольнику MNK, имеем: \[NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos \alpha.\] Подставляем известные значения: \[10^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos \alpha,\] \[100 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos \alpha,\] \[100 = 100 - 96 \cdot \cos \alpha.\]

Отсюда следует, что \(\cos \alpha = 0\), так как \(100 = 100 - 96 \cdot \cos \alpha\) или \(\cos \alpha = \frac{100 - 100}{96} = 0\).

Когда \(\cos \alpha = 0\), угол \(\alpha\) равен \(90^\circ\), что означает, что сторона MK является прямой к стороне NK (MN перпендикулярно к NK) и, следовательно, MK - это касательная к окружности с центром в точке N и радиусом 6 см.

Таким образом, доказано, что MK - отрезок, который является касательной к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.