Question

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, Пересекает стороны AB и BC Соответственно в точках M и H. Найдите AC и отношение площадей треугольников ABC и BMH, если MB=14см, AM =2см, MH=28см

Answer 1

МН║АС⇒ соответственные углы при пересечении этих прямых секущими АВ и ВС равны. 
Треугольники МВН и АВС подобны по равным углам. 
Из подобия следует отношение: $\frac{MH}{AC}= \frac{MB}{AB}$
 АВ=МВ+АМ=16 см
$\frac{28}{AC}= \frac{14}{16}$⇒
7АС=28•8
АС=4•8=32 см 
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. 
$\frac{S(MBH)}{S(ABC)}=k^2=( \frac{7}{8} )^2= \frac{49}{64}$

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим треугольники ABC и BMH. Обозначим длину отрезка AC как x.

1. Длина AC:

Из условия задачи мы знаем, что прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках M и H соответственно. Таким образом, треугольники AMB и MHC подобны треугольнику ABC по теореме об угловых подобиях.

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{MH}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{x} = \frac{28}{x + 14} \]

Решив это уравнение, найдем значение x.

Умножим обе стороны на \( x(x + 14) \):

\[ 2(x + 14) = 28x \]

\[ 2x + 28 = 28x \]

\[ 28 = 26x \]

\[ x = \frac{14}{13} \]

Таким образом, длина AC равна \( \frac{14}{13} \) см.

2. Отношение площадей треугольников ABC и BMH:

Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников ABC и BMH. Обозначим площади этих треугольников как S(ABC) и S(BMH).

Отношение площадей равно отношению квадратов соответствующих сторон, так как треугольники подобны:

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{AB}{BM} \right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{x + 14}{14} \right)^2 \]

Подставим значение x:

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{\frac{14}{13} + 14}{14} \right)^2 \]

Вычислим это значение:

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{\frac{196}{13} + 182}{14} \right)^2 \]

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{\frac{378}{13}}{14} \right)^2 \]

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \left( \frac{27}{13} \right)^2 \]

\[ \frac{S(ABC)}{S(BMH)} = \frac{729}{169} \]

Таким образом, длина AC равна \( \frac{14}{13} \) см, а отношение площадей треугольников ABC и BMH равно \( \frac{729}{169} \).