Question

Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.докажите, что CP=AB

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 

Продолжим СР до пересечения с АВ в точке К. 

СК проходит через Р –точку пересечения медиан АМ и ВN, следовательно, СК - медиана, и СР=2 РК. 

Треугольник АВР - прямоугольный, РК в нем – медиана.  

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. 

АВ=2 РК,  

СР=2РК⇒ СР=АВ, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим математическим доказательством!

Пусть \(AM\) и \(BN\) - медианы треугольника \(ABC\), пересекающиеся в точке \(P\). Нам нужно доказать, что \(CP = AB\).

Для начала вспомним основное свойство медианы треугольника: она делит сторону треугольника, к которой она проведена, пополам. Итак, \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам, а \(BN\) делит сторону \(AC\) пополам.

Теперь рассмотрим треугольник \(ACP\). У нас есть две медианы, \(AM\) и \(CP\), которые пересекаются в точке \(P\), следовательно, \(CP\) также делит сторону \(AC\) пополам. Аналогично, если рассмотреть треугольник \(BCP\), то \(BP\) тоже делит сторону \(BC\) пополам.

Из этого следует, что \(CP\) — это половина стороны \(AC\), а \(BP\) — половина стороны \(BC\). Теперь, поскольку \(AM\) и \(BN\) являются медианами, они делят соответствующие стороны треугольника \(ABC\) пополам. Значит, \(AM = \frac{1}{2}AC\) и \(BN = \frac{1}{2}BC\).

Теперь посмотрим на треугольник \(ABP\). В этом треугольнике \(AM\) и \(BN\) являются медианами, поэтому \(AB\) делится \(P\) пополам. Таким образом, \(AB = 2 \times BP\).

Но мы уже знаем, что \(BP\) — половина стороны \(BC\), а также \(CP\) — половина стороны \(AC\). Следовательно, \(BP = \frac{1}{2}BC\) и \(CP = \frac{1}{2}AC\).

Используя равенства \(AB = 2 \times BP\) и \(CP = \frac{1}{2}AC\), мы можем сделать вывод, что \(CP = AB\).

Таким образом, доказано, что длина отрезка \(CP\) равна длине стороны \(AB\) в треугольнике \(ABC\), если \(AM\) и \(BN\) являются перпендикулярными медианами, пересекающимися в точке \(P\).