Question

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найти площадь треугольника.

Answer 1

катеты относятся также как отрезки гипотенузы,отделенные биссектрисой,то есть 20:15=4:3,пусть один катет 3х,тогда второй 4х,тогда гипотенуза по теореме Пифагора 5х

5х=35=>x=7=>3=21,4x=28

S=1/2*12x^2=6x^2=294

Answer 2

Биссектриса прямоугльниго треугольника делит гипотенузу на отрезки пропорциональные катетам. Если один катет принять за 20 * Х, а второй - за 15 * Х, то по теореме Пифагора получаем уравнение

(20 * Х)² + (15 * Х)² = 35² , откуда  625 * Х² = 1225  или  Х = 1,4

Таким образом, катеты треугольника равны  28 и 21 см., а его площадь

S = 28 * 21 / 2 = 294 см²

Answer 3

Давайте обозначим данную ситуацию. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой угол, а биссектриса угла C делит гипотенузу AB на два отрезка, длины которых обозначены как AC = 20 см и BC = 15 см.

\[ AC = 20 \, \text{см} \] \[ BC = 15 \, \text{см} \]

Используем теорему о биссектрисе в треугольнике. Пусть \( CD \) - биссектриса угла \( C \), где \( D \) лежит на стороне \( AB \).

Согласно теореме о биссектрисе:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC} \]

Подставим значения:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{15}{20} \]

Упростим:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4} \]

Теперь заметим, что треугольник \( ACD \) и треугольник \( BCD \) подобны треугольнику \( ABC \) (по признаку угловой подобности). Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон в большем треугольнике \( ABC \).

\[ \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} \]

Подставим значения:

\[ \frac{AD}{BD} = \frac{4}{3} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{AD}{BD} = \frac{4}{3} \]

Решив эту систему, найдем значения \( AD \) и \( BD \).

Умножим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей:

\[ BD \cdot AD = 3 \cdot 4 \] \[ AD \cdot BD = 4 \cdot 3 \]

Получаем:

\[ BD \cdot AD = 12 \] \[ AD \cdot BD = 12 \]

Теперь найдем значения \( AD \) и \( BD \):

\[ AD = BD = \sqrt{12} \, \text{см} \]

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти площадь треугольника \( ABC \).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 300 \]

\[ S = 150 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 150 \, \text{см}^2 \).