Question

Найдите объём шара вписанного в пирамиду, высота которой равна h, а каждая боковая грань образует с основанием угол 60

Answer 1

Сначала построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту.Это равносторонний треугольник. Обозначим его SKH(где S - вершина пирамиды, а K и H - середины сторон AB и CD). KH=SK=SH=a. S этого сечения = a²*(√3)/4. С другой стороны, S этого треугольника = 1/2*a*h. Приравняем и получим, что a=2*h/√3.
Но S можно найти ещё одним способом: S=p*r(p - полупериметр). Снова приравниваем площади и получаем, что r=h/3. V шара = 4*$\pi$*h³/81.

Answer 2

Для нахождения объема шара, вписанного в пирамиду, нужно знать радиус шара. Этот радиус можно выразить через высоту пирамиды \(h\).

Предположим, что пирамида имеет квадратное основание с длиной стороны \(a\). Угол между боковой гранью пирамиды и основанием равен 60 градусам. Рассмотрим правильный треугольник, образованный половиной боковой грани, высотой пирамиды и радиусом вписанного шара. Этот треугольник является прямоугольным, где угол при основании равен 60 градусам.

Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы выразить радиус шара через высоту пирамиды:

\[\tan(60^\circ) = \frac{r}{h/2}\]

Решив это уравнение относительно \(r\), получим:

\[r = \frac{h}{2 \tan(60^\circ)}\]

Теперь, когда у нас есть радиус шара, можем использовать формулу для объема шара:

\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Подставим значение \(r\), которое мы нашли:

\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{h}{2 \tan(60^\circ)}\right)^3\]

Сокращаем выражение и упрощаем:

\[V_{\text{шара}} = \frac{\pi h^3}{24 \sqrt{3}}\]

Таким образом, объем шара, вписанного в пирамиду с высотой \(h\), где угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам, равен \(\frac{\pi h^3}{24 \sqrt{3}}\).