Question

Биссектриса cm треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=15 и MB=16. Касательная к описанной окружности треугольника ABC ,проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D. найдите CD

Answer 1

Исходя из свойства биссектрисы, АС/АМ=ВС/ВМ
АС/15=ВС/16 или АС/ВС=15/16.
Угол между касательной СД и хордой АС, проведенной в точку касания С, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: <АСД= дуга АС/2.
Вписанный угол АВС опирается тоже на дугу АС и равен <АВС= дуга АС/2.
Значит <АВС=<АСД.
У ΔАСД  и ΔСВД два угла равны: <АВС=<АСД и <СДВ=<СДА (они совпадают), значит эти треугольники подобны по 1 признаку.
АС/ВС=СД/ВД=АД/СД
СД/ВД=15/16, ВД=16СД/15
АД/СД=15/16, АД=15СД/16
ВД=АД+АВ=АД+15+16=АД+31
16СД/15=15СД/16+31
256СД=225СД+7440
СД=7440/31=240
Ответ: 240

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой о биссектрисе в треугольнике. Теорема гласит, что биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону в отношении длин смежных сторон. В данном случае, биссектриса треугольника ABC делит сторону AB на два отрезка, AM и MB.

Из условия задачи известно, что AM = 15 и MB = 16.

Теперь нам нужно найти точку D, в которой касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB. Для этого воспользуемся теоремой о касательных к окружности.

Теорема о касательных гласит, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в этой точке. Таким образом, CD будет перпендикуляром к радиусу окружности, проведенному из точки C.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AMC. Мы знаем, что AM = 15 и MC (радиус окружности) равен какому-то значению R (мы пока не знаем его, но мы его найдем).

Используя теорему Пифагора в треугольнике AMC, мы можем записать:

AC^2 = AM^2 + MC^2

AC^2 = 15^2 + R^2

Теперь давайте рассмотрим треугольник CMB. Мы знаем, что MB = 16 и MC (радиус окружности) равен тому же значению R.

Используя теорему Пифагора в треугольнике CMB, мы можем записать:

CB^2 = MB^2 + MC^2

CB^2 = 16^2 + R^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AC^2 = 15^2 + R^2 2. CB^2 = 16^2 + R^2

Теперь выразим R^2 из обоих уравнений и приравняем их:

15^2 + R^2 = 16^2 + R^2

Теперь R^2 сокращается, и у нас остается:

15^2 = 16^2

Выясняется, что эти два уравнения равны, и R^2 сокращается.

Теперь мы знаем, что R^2 не зависит от AM и MB и равно 15^2, а это значит, что R = 15.

Теперь, когда у нас есть значение радиуса окружности, мы можем использовать его для нахождения CD, так как CD является перпендикуляром к радиусу MC.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике CMC:

CD^2 = CM^2 + MC^2

CD^2 = 15^2 + 15^2

CD^2 = 225 + 225

CD^2 = 450

Теперь найдем CD:

CD = √450

CD = √(9 * 50)

CD = 3√50

Таким образом, CD равно 3√50 или примерно 15√2.