Question

Отрезок CD- высота прямоуг. треугольника ABC, проведенная из вершины прямоугольного угла C. Найдите радиус окружности с центром A, которая касается прямой CD,если CD=4,AB=12.

Answer 1

Пусть радиус равен R.

Треуогльник ВСD  подобен треугольнику CDA.

Тогда (12-R)/4 = 4/R 

12R - R^2 - 16 =0

Решаем это квадратное уравнение.

2 ответа и будут двумя решениями.

Дискриминант = 144-64 =  80

R = (12(+/-)9)/2   

= либо 12-9/2 = 1.5

или = 12+9/2 = 21/2 =10.5 

Ответ: 1.5 и 10.5

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства окружностей, касающихся прямых.

Сначала нам нужно найти длину отрезка AD, который является радиусом окружности с центром в точке A.

Известно, что в прямоугольном треугольнике ABC высота, проведенная из вершины прямого угла C (CD), является одновременно и катетом треугольника. Также, из условия известна длина AB (12) и CD (4).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

У нас есть одно из катетов (AB) и гипотенуза (AC), поэтому можем найти второй катет BC: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}\] \[BC = \sqrt{12^2 - 4^2}\] \[BC = \sqrt{144 - 16}\] \[BC = \sqrt{128}\] \[BC = 8\sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка AD (радиус окружности), мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников. Треугольники ACD и ABC подобны, так как угол ACB прямой, а угол ACD также прямой (так как CD — высота). Таким образом, отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению их соответствующих сторон:

\[\frac{AD}{AC} = \frac{BC}{AB}\] \[\frac{AD}{AC} = \frac{8\sqrt{2}}{12}\] \[AD = AC \times \frac{8\sqrt{2}}{12}\]

Теперь нам нужно найти длину AC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABC:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 12^2 - (8\sqrt{2})^2\] \[AC^2 = 144 - 128\] \[AC^2 = 16\] \[AC = 4\]

Теперь мы можем найти длину отрезка AD (радиус):

\[AD = 4 \times \frac{8\sqrt{2}}{12}\] \[AD = \frac{32\sqrt{2}}{12}\] \[AD = \frac{8\sqrt{2}}{3}\]

Таким образом, радиус окружности с центром в точке A, касающейся прямой CD, равен \( \frac{8\sqrt{2}}{3} \).