Question

Помогите пожалуйста)) Площади подобных равнобедренных прямоугольных треугольников относятся как 4:9,а периметр треугольника с меньшими сторонами равен 12 см. Вычислите длину катета другого треугольника

Answer 1

Эти треугольники подобные, так как отношения площадей равно к в квадрате. поэтому периметр второго будет 27, дальше сам найдёшь, а то чето все элементарное спрашивают

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов первого треугольника через \(a\) и \(b\). Тогда площадь треугольника пропорциональна квадрату длин его катетов, и мы можем написать:

\[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{b_1}{b_2}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Также у нас есть информация о периметре первого треугольника, который равен 12 см:

\[a_1 + b_1 + \sqrt{a_1^2 + b_1^2} = 12\]

Теперь давайте введем новые обозначения: \(k\) - отношение длин катетов (то есть \(\frac{a_1}{b_1} = k\)). Тогда:

\[a_1 = kb_1\]

Подставим это в уравнение для периметра:

\[kb_1 + b_1 + \sqrt{(kb_1)^2 + b_1^2} = 12\]

Упростим это уравнение. Сначала умножим обе части на \(b_1\):

\[k + 1 + \sqrt{k^2b_1^2 + b_1^2} = 12\]

Теперь выразим \(\sqrt{k^2b_1^2 + b_1^2}\):

\[k + 1 + \sqrt{b_1^2(k^2 + 1)} = 12\]

Выразим теперь \(b_1\):

\[\sqrt{b_1^2(k^2 + 1)} = 12 - k - 1\]

\[b_1 = \frac{12 - k - 1}{\sqrt{k^2 + 1}}\]

Так как \(a_1 = kb_1\), то

\[a_1 = \frac{12k - k^2 - 12 + 1}{\sqrt{k^2 + 1}}\]

Теперь у нас есть выражения для длин катетов первого треугольника. Поскольку площади треугольников пропорциональны квадратам длин катетов, мы можем записать:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{\left(\frac{12k - k^2 - 12 + 1}{\sqrt{k^2 + 1}}\right)^2 + \left(\frac{12 - k - 1}{\sqrt{k^2 + 1}}\right)^2}{\left(\frac{12}{\sqrt{k^2 + 1}}\right)^2 + \left(\frac{9}{\sqrt{k^2 + 1}}\right)^2} = \frac{4}{9}\]

Теперь это уравнение можно решить относительно \(k\), а затем найти длину катета второго треугольника.