Question

Высотаправильнойтреугольнойпирамидыравна8см. Радиусокружности, описанной околоееоснования - (8 корней из 3) см. Вычислите: а) Длину бокового ребра пирамиды. б)площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

DABC-правильная пирамида
R=ВО=8√3см⇒AB=BC=AC=8см
h=D0=8см
BD=AD=CD=√(BO²+DO²)=√(192+64)=√256=16см
DH-апофема
DH=√(AD²-(AC/2)²)=√(256-16)=√240=4√15см
Sбок =3S(ADC)=3*1/2*AC*DH=3/2*8*4√15=48√15см²

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольную пирамиду. Пусть \(ABC\) - её основание, \(O\) - центр описанной окружности, \(M\) - середина бокового ребра \(DE\), где \(D\) и \(E\) - вершины пирамиды. Также, обозначим высоту пирамиды как \(h\), длину бокового ребра как \(a\), и радиус описанной окружности как \(R\).

Так как \(O\) - центр описанной окружности, то \(OA = OB = OC = OD = OE = R\), и \(OM = \frac{a}{2}\).

Треугольник \(OMB\) - прямоугольный треугольник. Мы знаем, что \(OM^2 + BM^2 = OB^2\).

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4} = R^2 \]

Также, у нас есть связь между высотой пирамиды и радиусом описанной окружности:

\[ h = \sqrt{a^2 - 4R^2} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a\) и \(R\)):

\[ \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4} = R^2 \] \[ h = \sqrt{a^2 - 4R^2} \]

Мы также знаем, что высота пирамиды \(h = 8\) см, и радиус описанной окружности \(R = 8\sqrt{3}\) см.

Подставим известные значения:

\[ \frac{a^2}{4} + 16 = 192 \]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(a\).

После того как найдем значение \(a\), мы можем вычислить длину бокового ребра и площадь боковой поверхности:

а) Длина бокового ребра \(a\).

б) Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\):

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота} \]

где периметр основания равен \(P_{\text{осн}} = 3a\).

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 3a \times 8 \]

Решив эти уравнения, вы получите значения \(a\) и \(S_{\text{бок}}\).