Question

В треугольнике со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где M, N - точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно

Answer 1

Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно l=p-c.Итак, AM=4,5-2=2,5; ВN=ВМ=4,5-3=1,5(ВN=ВМ равны, как касательные из одной точки к окружности) и CN=4,5-4=0,5. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Отсюда найдем косинусы углов В и С нашего треугольникаИтак,АС²=АВ²+ВС²-2АВ*ВС*CosB. Или 9=16+4-16*CosB, откуда CosB=11/16.АВ²=АС²+ВС²-2*АС*ВС*CosС или 16=9+4-12*CosС, откуда CosС=-1/4. (угол С - тупой). Теперь по этим же формулам найдем стороны MN и AN.MN²=2*ВМ²-2*ВМ²*CosB=4,5-4,5*11/16 = 1,4. MN=1,18AN²=АС²+CN²-2*АС*CN*CosС=9+0,25+2*9*0,25*1/4 = 10,375. MN=3,22.И теперь, зная все три стороны треугольника AMN, найдем его площадь по формуле Герона:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)*p]=√(0,5*2,5*1,5*4,5)=√8,4375 = 2,9.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим через \(r\) радиус вписанной окружности в треугольнике ABC. Также обозначим точки касания этой окружности со сторонами AB и AC как M и N соответственно.

Так как M - точка касания окружности со стороной AB, то AM является радиусом окружности. Аналогично, AN является радиусом окружности, вписанной в треугольник ABC, поскольку N - точка касания окружности со стороной AC.

Известно, что радиус вписанной окружности выражается формулой:

\[ r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} \]

где \(S_{\triangle ABC}\) - площадь треугольника ABC, \(p\) - полупериметр треугольника ABC.

Треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC длиной 4, 2 и 3 соответственно, поэтому полупериметр \(p\) можно выразить как:

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \]

Теперь мы можем выразить радиус \(r\) в терминах сторон треугольника ABC.

Теперь мы можем использовать радиус \(r\), чтобы найти площадь треугольника AMN. Так как треугольник AMN - это треугольник, образованный радиусами окружности и сторонами треугольника ABC, его площадь можно найти с использованием формулы для площади треугольника:

\[ S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \]

Так как AM и AN равны радиусу окружности, мы можем заменить их значением \(r\):

\[ S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \]

Теперь мы знаем, как выразить площадь треугольника AMN через радиус вписанной окружности \(r\). Осталось только найти \(r\).

Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} \]

где \(S_{\triangle ABC}\) - площадь треугольника ABC, \(p\) - полупериметр треугольника ABC.

Вычислим \(p\) и \(S_{\triangle ABC}\):

\[ p = \frac{4 + 2 + 3}{2} = 4.5 \]

\[ S_{\triangle ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)} \]

\[ S_{\triangle ABC} = \sqrt{4.5 \cdot 0.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{84.375} \approx 9.2 \]

Теперь мы можем найти радиус \(r\):

\[ r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} = \frac{9.2}{4.5} \approx 2.04 \]

Теперь мы можем использовать найденное значение радиуса \(r\) для вычисления площади треугольника AMN:

\[ S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \approx \frac{1}{2} \cdot 2.04 \cdot 2.04 \approx 2.08 \]

Итак, площадь треугольника AMN примерно равна 2.08.