Question

К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.Найдите периметр треугольника CDE, если периметр треугольника АВС равен 20 см и АВ = 6 см.

Answer 1

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны...
DK=DP
AK=AT
осталось записать выражение для периметра и заменить в нем равные отрезки на известные, равные им...
центр вписанной в треугольник окружности --это точка пересечения биссектрис, биссектриса к основанию равнобедренного треугольника будет и медианой и высотой... АТ=ТВ=АВ/2 = 3
АС=ВС=(20-6)/2 = 7
СК = 7 - 3 = 4 = СМ
P(CDE) = 4+4 = 8

Answer 2

Обозначим через \(r\) радиус вписанной окружности, а через \(P_{ABC}\) и \(P_{CDE}\) периметры треугольников \(ABC\) и \(CDE\) соответственно.

Известно, что периметр треугольника \(ABC\) равен 20 см. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(AB = AC\). Также из условия задачи известно, что \(AB = 6\) см. Следовательно, \(AC = 6\) см.

Пусть \(AD = AE = x\) - это длина отрезков, на которые касательная делит боковые стороны треугольника \(ABC\). Тогда \(CD = CE = AC - x = 6 - x\).

Также известно, что касательная к окружности проведена к боковым сторонам треугольника под прямым углом, а это значит, что треугольники \(ADE\) и \(CDE\) подобны. Таким образом, можно записать пропорцию сторон треугольников:

\[ \frac{AD}{CD} = \frac{AE}{CE} \]

\[ \frac{x}{6 - x} = \frac{x}{6 - x} \]

Умножим обе стороны на \((6 - x)\) чтобы избавиться от знаменателя:

\[x = x\]

Это верное утверждение, что не дает нам новой информации о \(x\), но мы можем использовать его, чтобы выразить одну из сторон треугольника \(ADE\).

Так как \(AB = 6\), а \(AD = AE = x\), то \(BD = BE = 6 - x\).

Теперь можем записать периметр треугольника \(ABC\):

\[P_{ABC} = AB + AC + BC = 6 + 6 + 8 = 20 \, \text{см}\]

Также можно записать периметр треугольника \(CDE\):

\[P_{CDE} = CD + CE + DE\]

\[P_{CDE} = (6 - x) + (6 - x) + 2x = 12 - 2x + 2x = 12 \, \text{см}\]

Таким образом, периметр треугольника \(CDE\) равен 12 см.