Question

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC=16 см и катетом BC=12см .Отрезок SC=20 см,-перпендикуляр к плоскости ABC.а)Найдите /CS+CB+BA/(сумма векторов).б)Найдите угол между SA и плоскостью ABC.

Answer 1

Решение в скане.............Не буду убирать первое решение. По условию задачи мне кажется должно быть задано именно АВ. Так как во втором случае, когда задано АС появляются лишние данные. Пусть будут оба решения для выбора.

Answer 2

Давайте решим задачу по порядку.

а) Найдем отношения векторов CS, CB и BA, где S - точка на гипотенузе AC.

Сначала найдем вектора:

Вектор CB: \[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{CB} = \langle 0, 12, 0 \rangle - \langle 0, 0, 0 \rangle = \langle 0, 12, 0 \rangle \]

Вектор BA: \[ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{BA} = \langle 0, 0, 0 \rangle - \langle 0, 12, 0 \rangle = \langle 0, -12, 0 \rangle \]

Вектор CS: \[ \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{CS} = \langle 0, 20, 0 \rangle - \langle 0, 0, 0 \rangle = \langle 0, 20, 0 \rangle \]

Теперь найдем отношения векторов: \[ \frac{\overrightarrow{CS}}{\overrightarrow{CB}} = \frac{\langle 0, 20, 0 \rangle}{\langle 0, 12, 0 \rangle} \] \[ \frac{\overrightarrow{CS}}{\overrightarrow{CB}} = \langle 0, \frac{20}{12}, 0 \rangle \] \[ \frac{\overrightarrow{CS}}{\overrightarrow{CB}} = \langle 0, \frac{5}{3}, 0 \rangle \]

Ответ: \[ \frac{\overrightarrow{CS}}{\overrightarrow{CB}} = \langle 0, \frac{5}{3}, 0 \rangle \]

б) Найдем угол между вектором SA и плоскостью ABC.

Вектор SA: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{S} \] \[ \overrightarrow{SA} = \langle 0, 0, 0 \rangle - \langle 0, 20, 0 \rangle = \langle 0, -20, 0 \rangle \]

Нормаль к плоскости ABC можно найти как векторное произведение векторов CB и BA: \[ \overrightarrow{N_{ABC}} = \overrightarrow{CB} \times \overrightarrow{BA} \] \[ \overrightarrow{N_{ABC}} = \langle 0, 12, 0 \rangle \times \langle 0, -12, 0 \rangle \] \[ \overrightarrow{N_{ABC}} = \langle 0, 0, -144 \rangle \]

Теперь найдем косинус угла между векторами SA и \( \overrightarrow{N_{ABC}} \) по их скалярному произведению: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{N_{ABC}}}{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{N_{ABC}}|} \] \[ \cos(\theta) = \frac{\langle 0, -20, 0 \rangle \cdot \langle 0, 0, -144 \rangle}{\sqrt{0^2 + (-20)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + (-144)^2}} \]

Рассчитаем числитель и знаменатель: \[ \langle 0, -20, 0 \rangle \cdot \langle 0, 0, -144 \rangle = 0 \] \[ |\overrightarrow{SA}| = \sqrt{0^2 + (-20)^2 + 0^2} = 20 \] \[ |\overrightarrow{N_{ABC}}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-144)^2} = 144 \]

Теперь выразим косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{20 \cdot 144} = 0 \]

Угол между вектором SA и плоскостью ABC равен 90 градусов.

Ответ: Угол между SA и плоскостью ABC равен 90 градусов.