Question

Теорема. В трапецию АВСД вписана окружность. Докажите что АВ+СД=ВС+AD

Answer 1

это трапеция будет только квадратом( т.к. у квадрата все стороны равны )  и все углы будут равны 90градусов

Answer 2

Предположим, что в трапеции \(ABCD\) вписана окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\). Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции: точки касания с \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) обозначим соответственно как \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\).

Так как окружность вписана в трапецию, то сегменты \(AP\), \(BQ\), \(CR\) и \(DS\) являются отрезками радиусов окружности и равны между собой, то есть \(AP = DS\) и \(BQ = CR\).

Также, так как \(ABCD\) — трапеция, то \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\). Из параллельности сторон трапеции следует, что углы \(\angle A\) и \(\angle D\) равны, а углы \(\angle B\) и \(\angle C\) также равны.

Теперь рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(CDO\). У этих треугольников пары углов \(\angle A\) и \(\angle D\) равны, так как они соответственны. Углы \(\angle OAB\) и \(\angle OCD\) равны, так как они соответствуют вертикальным углам, и углы \(\angle OBA\) и \(\angle ODC\) равны, так как они соответствуют вертикальным углам.

Таким образом, треугольники \(ABO\) и \(CDO\) равны по двум углам и стороне между ними. Следовательно, они подобны.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков, соединяющих центр окружности с точками касания, равно отношению длин соответствующих сторон трапеции:

\[\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AP}{CR} = \frac{DS}{BQ}.\]

Также, учитывая равенство отрезков радиусов \(AP = DS\) и \(BQ = CR\), получаем:

\[\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AP}{CR} = \frac{BQ}{DS}.\]

Теперь рассмотрим отношение длин оснований трапеции:

\[\frac{AD}{BC}.\]

Так как \(AD \parallel BC\), то \(\triangle ADO\) и \(\triangle BCO\) подобны. Следовательно,

\[\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO}.\]

Таким образом, мы имеем:

\[\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AP}{CR} = \frac{BQ}{DS}.\]

Умножим обе стороны на \(BC\), получим:

\[AD = AO \cdot \frac{BC}{CO}.\]

Аналогично, умножим обе стороны на \(CD\), получим:

\[BC = BO \cdot \frac{CD}{DO}.\]

Теперь сложим эти два равенства:

\[AD + BC = AO \cdot \frac{BC}{CO} + BO \cdot \frac{CD}{DO}.\]

Так как \(AO = BO\) (радиусы окружности равны), то можно вынести общий множитель:

\[AD + BC = AO \cdot \left(\frac{BC}{CO} + \frac{CD}{DO}\right).\]

Так как \(BC\) и \(CD\) образуют основание трапеции, то \(BC + CD = BD\). Мы можем заменить \(BC + CD\) в уравнении:

\[AD + BC = AO \cdot \left(\frac{BD}{CO}\right).\]

Также, учитывая, что \(BD = AO + DO\), подставим это значение:

\[AD + BC = AO \cdot \left(\frac{AO + DO}{CO}\right).\]

Разделим обе стороны на \(AO\):

\[\frac{AD}{AO} + \frac{BC}{AO} = \frac{AO + DO}{CO}.\]

Теперь учтем, что \(AO = CO\) (радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой её точки) и упростим:

\[\frac{AD}{AO} + \frac{BC}{AO} = \frac{AO + DO}{AO}.\]

\[\frac{AD}{AO} + \frac{BC}{AO} = 1 + \frac{DO}{AO}.\]

Так как \(DO = r\) (радиус окружности), подставим это значение:

\[\frac{AD}{AO} + \frac{BC}{AO} = 1 + \frac{r}{AO}.\]

Теперь выразим \(\frac{BC}{AO}\) через отношение сторон треугольника \(BCO\). Так как \(\triangle BCO\) — прямоугольный треугольник, то в нем верно:

\[\frac{BC}{AO} = \sin(\angle BCO).\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{AD}{AO} + \sin(\angle BCO) = 1 + \frac{r}{AO}.\]

Так как \(\sin(\angle BCO) = \sin(\angle C)\) (угол в трапеции), и \(AO = CO = r\) (радиус окружности), получаем:

\[\frac{AD}{r} + \sin(\angle C) = 1 + \frac{r}{r}