Question

Точки M и E середины ребер AC и AB правильного тетраэдра ABCD соответственно, P-точка пересечения медиан треугольника BDC. Найдите угол между прямыми MP и DE.

Answer 1

Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1.
Определим координаты всех заданных точек.
Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ.
Координаты точки А    Координаты точки B     Координаты точки C
 ax    ay     az                    bx   by       bz             cx     cy       cz
  0     0        0                     0        1       0          0.866    0.5       0

Координаты точки Д             Координаты точки Е
 дx        дy       дz                      Еx     Еy     Еz
0.2887  0.5  0.8165                      0       0.5     0

Координаты точки Р             Координаты точки М
Рx            Рy         Рz             Мx      Мy      Мz
0.3849  0.66667  0.2722          0.433   0.25       0.

Находим координаты векторов МР и ДЕ.
                                                              x               y               z             
Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ} -0,048113  0,4166667  0,27216553 Вектор ДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД}   -0,288675          0       -0,81649658.

Косинус угла между векторами определяем по формуле:
$cos \alpha = \frac{|axbx+ayby+azbz|}{ \sqrt{ax^2+ay^2+az^2}* \sqrt{bx^2+by^2+bz^2}}$.

Подставив координаты векторов в формулу, получаем:
cosα = 0,20833333 / 0,433012702  = 0,48112522.

Данному косинусу соответствует угол:
α = 1,0688585 радиан или  61,241082°.  

Answer 2

Для решения этой задачи рассмотрим правильный тетраэдр ABCD и его медианы.

1. Точки M и E: Поскольку тетраэдр ABCD правильный, ребра AC и AB равны. Точка M - середина ребра AC, а точка E - середина ребра AB.

2. Точка P: Точка P - точка пересечения медиан треугольника BDC. Медианы треугольника пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:1 от вершины к основанию. Так как BD равными сторонами тетраэдра ABCD, то BP = PD.

Теперь мы знаем, что MP - медиана треугольника BDC и делит её в отношении 2:1. Также известно, что DE - медиана треугольника ABC и также делит её в отношении 2:1.

Таким образом, MP и DE являются параллельными отрезками и их угловые коэффициенты равны.

3. Угол между прямыми MP и DE: Угол между двумя прямыми можно найти, зная их угловые коэффициенты. Если угловой коэффициент прямой 1 равен \(m_1\), а угловой коэффициент прямой 2 равен \(m_2\), то тангенс угла между ними определяется как \( \tan(\theta) = \frac{{m_2 - m_1}}{{1 + m_1 \cdot m_2}} \).

В данном случае, угловые коэффициенты MP и DE равны, поэтому \( \tan(\theta) = \frac{{m - m}}{{1 + m^2}} = 0 \).

Это означает, что угол между прямыми MP и DE равен нулю, что подтверждает их параллельность.