Question

В треугольнике ABC вписан круг с центром О. через точку О до площади треугольника проведено перпендикуляр SO длиной 5см . точка S отдалена от стороны АВ на 13 см. Найти радиус вписаного круга

Answer 1

Прикрепляю листочек....................

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанного круга в треугольник.

1. Пусть \( r \) - радиус вписанного круга, \( S \) - площадь треугольника \( ABC \).

2. Так как точка \( O \) - центр вписанного круга, то проведенный из нее перпендикуляр \( SO \) к стороне \( AB \) делит его на два равных отрезка. Обозначим их длину как \( h \).

3. Теперь у нас есть два треугольника: \( AOS \) и \( BOS \). Они подобны треугольнику \( ABC \) по принципу общей подобности.

4. По условию известна длина отрезка \( SO \) - \( 5 \, см \), а также известно, что точка \( S \) отдалена от стороны \( AB \) на \( 13 \, см \).

5. Из подобия треугольников получаем, что:

\[ \frac{h}{13} = \frac{r}{s} \]

где \( s \) - полупериметр треугольника \( ABC \).

6. Зная, что площадь треугольника можно выразить через радиус вписанного круга и полупериметр как \( S = rs \), мы можем выразить \( s \) через \( S \) и \( r \).

7. Подставим это выражение для \( s \) в уравнение из пункта 5:

\[ \frac{h}{13} = \frac{r}{\frac{S}{r}} \]

8. Решим уравнение относительно \( r \).

\[ h \cdot r = 13 \cdot \frac{S}{r} \]

\[ r^2 = \frac{13S}{h} \]

9. Теперь у нас есть выражение для \( r \). Подставим известные значения \( h = 5 \, см \) и \( S \) (площадь треугольника можно вычислить, зная длины его сторон).

10. Выразим радиус \( r \) и выполним вычисления.

\[ r^2 = \frac{13S}{5} \]

\[ r = \sqrt{\frac{13S}{5}} \]

Таким образом, вы можете найти радиус вписанного круга, зная площадь треугольника и длину отрезка \( SO \).