Question

При центральной симметрии относительно начала координат четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник A1B1C1D1. Найдите координаты точек A,B,C,D,если A1(-6;-1), B1(-5;-8),C1(-1;-6), D1(0;0)

Answer 1

А (6;-1); В (5;-8); С (1;-6); Д (0;0)

Answer 2

Для решения этой задачи важно использовать свойства центральной симметрии относительно начала координат.

Центральная симметрия означает, что если точка \( P \) с координатами \( (x, y) \) отображается в точку \( P' \) с координатами \( (x', y') \), то справедливо, что \( P' \) лежит на прямой, проходящей через начало координат и \( P \) в два раза дальше от начала координат, чем \( P' \).

Из этого следует, что если мы имеем точку \( P \) с координатами \( (x, y) \) и её образ \( P' \) с координатами \( (x', y') \) относительно начала координат, то:

\[ \begin{align*} x' &= -x \\ y' &= -y \end{align*} \]

Теперь, если у нас есть точки \( A_1(-6; -1) \), \( B_1(-5; -8) \), \( C_1(-1; -6) \), \( D_1(0; 0) \) как образы соответствующих точек \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), мы можем использовать эти правила для нахождения координат точек \( A \), \( B \), \( C \), \( D \).

1. \( A: \) \( A_1(-6; -1) \) - образ \( A \). Используем правило центральной симметрии: \( x' = -x, y' = -y \): \( A(x, y) \) превращается в \( A_1(-x, -y) \). Таким образом, \( A(-x, -y) = (-6, -1) \). Это означает, что \( x = 6 \) и \( y = 1 \). Так что координаты точки \( A \) это \( (6, 1) \).

2. \( B: \) \( B_1(-5; -8) \) - образ \( B \). Используем правило центральной симметрии: \( x' = -x, y' = -y \): \( B(x, y) \) превращается в \( B_1(-x, -y) \). Таким образом, \( B(-x, -y) = (-5, -8) \). Это означает, что \( x = 5 \) и \( y = 8 \). Так что координаты точки \( B \) это \( (5, 8) \).

3. \( C: \) \( C_1(-1; -6) \) - образ \( C \). Используем правило центральной симметрии: \( x' = -x, y' = -y \): \( C(x, y) \) превращается в \( C_1(-x, -y) \). Таким образом, \( C(-x, -y) = (-1, -6) \). Это означает, что \( x = 1 \) и \( y = 6 \). Так что координаты точки \( C \) это \( (1, 6) \).

4. \( D: \) \( D_1(0; 0) \) - образ \( D \). Используем правило центральной симметрии: \( x' = -x, y' = -y \): \( D(x, y) \) превращается в \( D_1(-x, -y) \). Таким образом, \( D(-x, -y) = (0, 0) \). Это означает, что \( x = 0 \) и \( y = 0 \). Так что координаты точки \( D \) это \( (0, 0) \).

Таким образом, координаты точек \( A, B, C, D \) равны: - \( A(6, 1) \) - \( B(5, 8) \) - \( C(1, 6) \) - \( D(0, 0) \)