Question

Точки K,L,M,N -середины сторон прямоугольника ABCD,точка P принадлежит отрезку KL,см.рисунок.Площадь треугольника MNP равна 32.Найдите длину стороны BC,если известно,что BC=2AB.Ответ:16.Ответ я знаю,а как решать не знаю :(Помогите пожалуйста !! :)

Answer 1

            
 $BC=2AB\\ X=2Y\\ KL=\sqrt{ \frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{16}}=\frac{x\sqrt{5}}{4}\\ \frac{x\sqrt{5}}{4} = \frac{\frac{x}{2}}{sinLKB}\\ sinKLB = \frac{2}{\sqrt{5}}\\ LKN=\pi-2arccos(\frac{1}{\sqrt{5}} ) \\ S_{NMP} = S_{ABCD}- S_{LMP}- S_{PKN}\\ S_{ABCD}= \frac{ 5x^2}{16}*sin(\pi-2arccos( \frac{1}{\sqrt{5} })\\ S_{LMP} = \frac{a*x\sqrt{5}}{4}*sin(\pi-2arccos\frac{1}{\sqrt{5}}*0.5\\ S_{PKN} = (\frac{x\sqrt{5}}{4}-a)*(\frac{x\sqrt{5}}{4}*sin(2arccos( \frac{1}{\sqrt{5}}))*0.5$ 
 откуда   $\frac{5}{32} x^2 sin(2arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}) = 32\\ 5x^2*\frac{4}{5}=32^2\\ 20x^2=32^2*5\\ 4x^2=32^2\\ x=256 \\ x=16\\ BC=16$ 
  
 $a=KP$

Answer 2

Осмелюсь добавить свой вариант:
Площадь треугольника MNP равна 0,5*NM*LH, гле LH - высота ромба KLMN. (Доказывать, что это ромб, надеюсь, не надо?) Заметим, что эта площадь не зависит от расположения точки Р на отрезке KL. Итак, необходимо найти высоту ромба. Пусть половина стороны АВ (CD) = х. Тогда половина стороны ВС (AD) = 2*х. Площадь прямоугольника АВСD = АВ*AD=2х*4х=8х². Сторона ромба находится по Пифагору и равна √(4х²+х²) = х√5. Площади треугольников АКN,KBL,LCM и MDN равны между собой и равны 0,5*х*2х =х². Тогда их суммарная площадь равна 4х². Площадь ромба KLMN равна разности площадей прямоугольника и четырех треугольников, то есть равна 8х²-4х²=4х². Значит его (ромба) высота равна площади, деленной на сторону, то есть 4х²/(х√5) = (4х)/√5. Тогда площадь треугольника MNP = 0,5*NM*LH = 0,5*х√5*(4х)/√5 = 2*х². Или 32=2х², откуда х=4. Тогда искомая сторона ВС=4*х = 16.
Второй вариант:
Ход решения тот же самый до нахождения площади ромба. Площадь ромба KLMN равна разности площадей прямоугольника и четырех треугольников, то есть равна 8х²-4х²=4х². Далее : Площадь треугольника MNP равна 0,5*NM*LH, где LH - высота ромба KLMN. Значит площадь треугольника MNP равна половине площади этого ромба (которую мы определили), то есть 4х²:2=2х². 2х²=32, откуда х=4, а ВС=16.
Все.