Question

Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной окружности лежат на одной прямой

Answer 1

Лично мне нравится больше всего доказательство теоремы Эйлера, приведенной на рисунке. Оно очень наглядное, там сразу всё видно.
Дана окружность с центром O, ABC - вписанный треугольник.
Точка C1 противоположна C на окружности, что есть CC1- диаметр, O - его середина.
Пусть M - середина AB. H - точка пересечения высот треугольника ABC.
Тогда AH II BC1; так как обе прямые перпендикулярны BC; и так же BH II AC1; то есть AHBC1 - параллелограмм.
Поэтому точка M является серединой не только AB, но и C1H; так как диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.
Следовательно, CM - медиана (внимание!) не только треугольника ABC, то и треугольника CHC1, и - (еще раз внимание!) - точка G является точкой пересечения медиан обоих (!) треугольников.
Другой медианой треугольника CHC1 как раз и является прямая Эйлера HO, то и завершает доказательство - точка G лежит на OH.
Ясно так же, что HG/GO = 2, как и бывает всегда у медиан.

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами треугольника.

Пусть ABC - произвольный треугольник, M - середина стороны BC, H - основание высоты, опущенной из вершины A, O - центр описанной окружности треугольника ABC.

1. Докажем, что точки M, H и O лежат на одной прямой.

Известно, что медиана треугольника делит ее на две равные части, поэтому AM = MC. Также из свойств треугольника известно, что высота, опущенная из вершины A, перпендикулярна стороне BC и проходит через точку M.

Поскольку AM = MC и AM ⊥ BC, то точка M является серединой отрезка AH, и, следовательно, HM = MA.

Также известно, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на перпендикуляре, проведенном к стороне BC из середины этой стороны. То есть, OM ⊥ BC и OM = MC.

Таким образом, получаем, что HM = MA и OM = MC.

Из равенства HM = MA и OM = MC следует, что HM = OM.

Значит, точки M, H и O лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной окружности лежат на одной прямой.